把握度量核心要素设计有效的学习活动 ——《长方体体积》实践与反思山西省孝义市崇文街小学田志刚教学内容：北师大版41页《长方体体积》课前思考：度量是数学的本质，没有度量就没有数学，度量贯穿于数学各个方面的产生和发展。度量包括两个方面一个是“度”即统一度量单位，二是“量”用统一的公认单位去量。通俗的说度量的本质也就是看“度量对象中包含多少个度量单位”，度量的核心要素是：度量对象、度量单位和度量值。早些年上课，基本就是按教材及教师用书建议，猜测—验证—归纳——应用这样流程上课，操作环节是学生拿若干小正方体拼摆不同长方体，在拼摆过程中没有目的性，随意拼摆长方体。然后找联系，进而得出长方体体积计算公式。学生在整堂课中，缺少学习兴趣、主动探究，更谈不上高阶思维，数学素养了。 2014年下学期，又上长方体体积公开课。感觉上次的课堂中，学生一开始根本不知道度量对象什么，小正方体是什么角色。而生活中的长方体大多是实心的或有厚度，也不透明，如何真实的度量呢？当时没有找到合适的方法，退而想到让学生把图纸上的长方体分割成若干个小正方体，进而得出体积单位的个数（度量值）。结果可想而知图纸上呈现的却是“具有象征意义”的平面形式的“空间”，把三维空间表达在了二维平面上。学生不是真正的操作，还是抽象的理解，加大了难度，又是一堂想象是美好的，现实是残酷的课。 通过以上对度量的思考、不同版本教材的比较认识以及对这节课的几次教学经历，促使我实施了如下教学过程：一、观察猜想，寻找相关因素 1.提问：我们所在的教室是什么形状？它的体积指什么？（长方体）然后让学生指出教室的长、宽、高。师：假设三次变化：天花板向下移动；前面墙向学生移动；左面的墙向学生移动。学生描述长、宽、高及体积的变化：长、宽不变，高减少，体积减少。长、高不变，宽减少，体积减少宽、高不变，长减少，体积减少小结：长方体体积和长、宽、高有关系，而且长、宽、高中的任意一个减少，体积会减少，反之体积会增加。提问：你认为长方体体积与长、宽、高是什么关系？学生猜想：长×宽×高等于长方体体积？【思考】结合身边教室各面墙的移动，学生身临其境体会长、宽、高的变化，引起长方体体积的变化，学生在观察、分析中，丰富了对体积的表象感悟，使原本模糊、不确定的感知逐步清晰完整起来——长方体的体积与长、宽、高有关。二、小块拼摆，初步感受度量每组学生手中，都有三个透明长方体学具：长3厘米，宽2厘米，高1厘米；长4厘米，宽3厘米，高2厘米；长6厘米、宽4厘米、高5厘米，学生事先都不知道各学具长、宽、高的数值。首先拿出第一个长方体学具和棱长1厘米的小正方体，对比后学生先估计长方体学具的体积。接下来往学具中密铺小正方体，因为用的块数比较少，学生往往就全部摆满6块小正方体，得出度量值6cm³（此时和学生交流：度量出的是长方体容积，若材料非常薄，忽略厚度的话，此时就是长方体的体积）。度量第二个长方体体积（容积），学生小组合作后，首先呈现都摆满的情况一排摆了4个，摆了3排，有这样2层（图1）；接着呈现比第一种块数少的情况，下面一层铺满，沿着高再摆1个（也可以看出是2层，图2）；接着激发学生还可以用更少的块数也可以度量出长方体的体积，学生上台演示，抽走第二种情况下面一层的6块，只剩下了沿着长、宽、高摆的一行或一列，同样想象出摆满的情况（图3）。 【思考】小学数学空间与图形内容的学习具有高度的抽象性。小学生尚处在从具体形象思维逐步向抽象逻辑思维的过渡阶段，对抽象的数学概念、规则尚不能完全理解。因此，要通过事物演示、动手实践，让学生经历知识的形成过程。上述过程中，先让学生估计长方体大小，培养学生的估计意识，同时激发学生想用小正方体密铺冲动进行验证。接下来呈现学生的三个层次的度量，一次比一次用到的块数要少，越来越简洁，越来越抽象，越来接近长方体体积模型的形成。三、摆脱拼摆，深度构建模型老师把小正方体全部倒掉，问学生还能度量出它的大小吗？学生陷入思考，想到可以用直尺分别量长、宽、高即可（第四个层次）。生动手量更大的长方体学具，量的长大约6cm，宽大约4cm，高大约5cm，体积大约是120cm³。学生讲道理，告诉长6cm，也就知道一排可以摆6个；宽4cm,相当于可以摆4排；高5cm，相当于摆这样的5层，相乘就算下单位体积的数量，也就是长方体体积。接着课件演示验证，学生经历由具体——抽象——再具体。最后，体积公式的出现也水到渠成，长方体体积=长×宽×高。 课件演示，长、宽、高由具体的数，抽象成字母a、b、h。让学生求体积，并结合“四个关系”（下述思考有介绍）讲道理说明。学生经历由具体——抽象——再具体——再抽象这一完整、反复的过程，道理越发清晰，直逼公式的本质。那么以上的学习过程，可以概括为：明白一个本质，抓住三个核心，设计四个层次，理解四个关系，进而形成模型。当得出字母公式V=abh，确定a、b、h的取值范围，一开始学生会谈到是自然数，然后老师追问所有自然数都能吗？学生想到得是非零自然数，课件配合演示当其中一项为零，长方体就变成长方形了，就没有体积了。老师又追问只能是非零自然数吗？小数可以吗？学生陷入了深思，老师更改板书中第二个长方体长4cm，宽3cm，高2.5cm，原来2层变成2.5层也是可以的，得出有30个小正方体（度量值）由“非零自然数”操作得出得结论，推广到所有得非零数，计算公式应用到小数范围内才更合理。【思考】在操作过程中，需要理清四个关系：“体积与体积单位的关系”“体积单位的数量与每排个数、排数、层数的关系”“长、宽、高的长度与体单位摆放之间的关系”“最后得出体积与长宽高之间的关系”帮助他们逐渐领悟长方体体积公式的原理，对体积的计算不仅知其然，而且知其所以然。通过四个层次的度量，水到渠成的悟出道理。四、沟通联系，进行演绎推理那么正方体体积又该如何推理呢？还需要再操作度量吗？学生会用自己的方法推导。有的学生严谨些，有的学生想法新颖些，比如： 1、因为长方体体积=长×宽×高正方体是特殊的长方体，正方体的长、宽、高都相等。所以正方体体积=棱长×棱长×棱长 2、假设通过小正方体拼摆后找联系，第一个棱长相当于告诉一排有几个；第二个棱长相当于告诉有几排；第三个棱长相当于有这样的几层。三者相乘得到小正方体的块数，也就是正方体的体积。课后反思时隔两年，执着的我又上长方体公开课，内心一直有一个想法“体积的度量难道就不能像面积那样真正度量吗”这次绞尽脑汁终于想到了办法：可以拿透明塑料来制作开口的长方体（度量对象），一开始学生对1cm³小正方体的角色也很明晰（度量单位），操作过程也看的清清楚楚，课堂上学生需要做的是通过度量单位对不同长方体（度量对象）进行度量，从而寻找度量值。从开始的全部摆满——摆下面一层和沿着高摆一列——分别沿着长、宽、高摆——彻底摆脱小正方体（用直尺度量）——形成长方体体积模型。三维空间大小的度量转化成了三个方向一维长度的度量，直接度量变成了间接度量，也就是数单位体积的个数转化为公式计算。从特殊到一般，从具体到抽象，从繁琐到简洁，发展学生的抽象思维，推理能力，模型思想。我们经常说要用教材教，而不是教教材，在读懂编者意图和教材的基础上，结合学生实际情况，创造性的使用教材，设计有效的学习活动，让度量真正发生。学生经历了一次“观察—发现—猜想—验证—归纳”的数学发现过程。学生不仅能通过学习获得数学结论，更重要的是逐步学会了获得数学结论的思想方法，提高了主动探索、获取知识的能力，学习解决数学问题的方法。而在积极参与“发现—猜想—验证”的学习过程中，学生通过独立思考、合作交流、逐步感悟了数学思想，也积累了丰富的数学活动经验。作为数学老师，更应当注重学生学习过程中的观察发现，鼓励学生大胆猜想，合理证明，唯有这样，才能更好地落实《数学课程标准（2011年版）》中所说的“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力”的要求。

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把握度量核心要素设计有效的学习活动

——《长方体体积》实践与反思

山西省孝义市崇文街小学田志刚

教学内容：北师大版 41 页《长方体体积》

课前思考：

度量是数学的本质，没有度量就没有数学，度量贯穿于数学各个方面的产生和发展。度量包括两个方面一个是 “度” 即统一度量单位，二是 “量” 用统一的公认单位去量。通俗的说度量的本质也就是看 “度量对象中包含多少个度量单位”，度量的核心要素是：度量对象、度量单位和度量值。

早些年上课，基本就是按教材及教师用书建议，猜测 — 验证 — 归纳 —— 应用这样流程上课，操作环节是学生拿若干小正方体拼摆不同长方体，在拼摆过程中没有目的性，随意拼摆长方体。然后找联系，进而得出长方体体积计算公式。学生在整堂课中，缺少学习兴趣、主动探究，更谈不上高阶思维，数学素养了。

2014 年下学期，又上长方体体积公开课。感觉上次的课堂中，学生一开始根本不知道度量对象什么，小正方体是什么角色。而生活中的长方体大多是实心的或有厚度，也不透明，如何真实的度量呢？当时没有找到合适的方法，退而想到让学生把图纸上的长方体分割成若干个小正方体，进而得出体积单位的个数（度量值）。结果可想而知图纸上呈现的却是 “具有象征意义” 的平面形式的 “空间”，把三维空间表达在了二维平面上。学生不是真正的操作，还是抽象的理解，加大了难度，又是一堂想象是美好的，现实是残酷的课。

通过以上对度量的思考、不同版本教材的比较认识以及对这节课的几次教学经历，促使我实施了如下教学过程：

一、观察猜想，寻找相关因素

提问：我们所在的教室是什么形状？它的体积指什么？（长方体）然后让学生指出教室的长、宽、高。

师：假设三次变化：天花板向下移动；前面墙向学生移动；左面的墙向学生移动。学生描述长、宽、高及体积的变化：

长、宽不变，高减少，体积减少。

长、高不变，宽减少，体积减少

宽、高不变，长减少，体积减少

小结：长方体体积和长、宽、高有关系，而且长、宽、高中的任意一个减少，体积会减少，反之体积会增加。

提问：你认为长方体体积与长、宽、高是什么关系？

学生猜想：长 × 宽 × 高等于长方体体积？

【思考】结合身边教室各面墙的移动，学生身临其境体会长、宽、高的变化，引起长方体体积的变化，学生在观察、分析中，丰富了对体积的表象感悟，使原本模糊、不确定的感知逐步清晰完整起来 —— 长方体的体积与长、宽、高有关。

二、小块拼摆，初步感受度量

每组学生手中，都有三个透明长方体学具：长 3 厘米，宽 2 厘米，高 1 厘米；长 4 厘米，宽 3 厘米，高 2 厘米；长 6 厘米、宽 4 厘米、高 5 厘米，学生事先都不知道各学具长、宽、高的数值。首先拿出第一个长方体学具和棱长 1 厘米的小正方体，对比后学生先估计长方体学具的体积。

接下来往学具中密铺小正方体，因为用的块数比较少，学生往往就全部摆满 6 块小正方体，得出度量值 6cm³（此时和学生交流：度量出的是长方体容积，若材料非常薄，忽略厚度的话，此时就是长方体的体积）。

度量第二个长方体体积（容积），学生小组合作后，首先呈现都摆满的情况一排摆了 4 个，摆了 3 排，有这样 2 层（图 1）；接着呈现比第一种块数少的情况，下面一层铺满，沿着高再摆 1 个（也可以看出是 2 层，图 2）；接着激发学生还可以用更少的块数也可以度量出长方体的体积，学生上台演示，抽走第二种情况下面一层的 6 块，只剩下了沿着长、宽、高摆的一行或一列，同样想象出摆满的情况（图 3）。

【思考】小学数学空间与图形内容的学习具有高度的抽象性。小学生尚处在从具体形象思维逐步向抽象逻辑思维的过渡阶段，对抽象的数学概念、规则尚不能完全理解。因此，要通过事物演示、动手实践，让学生经历知识的形成过程。上述过程中，先让学生估计长方体大小，培养学生的估计意识，同时激发学生想用小正方体密铺冲动进行验证。

接下来呈现学生的三个层次的度量，一次比一次用到的块数要少，越来越简洁，越来越抽象，越来接近长方体体积模型的形成。

三、摆脱拼摆，深度构建模型

老师把小正方体全部倒掉，问学生还能度量出它的大小吗？学生陷入思考，想到可以用直尺分别量长、宽、高即可（第四个层次）。生动手量更大的长方体学具，量的长大约 6cm，宽大约 4cm，高大约 5cm，体积大约是 120cm³。学生讲道理，告诉长 6cm，也就知道一排可以摆 6 个；宽 4cm, 相当于可以摆 4 排；高 5cm，相当于摆这样的 5 层，相乘就算下单位体积的数量，也就是长方体体积。接着课件演示验证，学生经历由具体 —— 抽象 —— 再具体。最后，体积公式的出现也水到渠成，长方体体积 = 长 × 宽 × 高。

课件演示，长、宽、高由具体的数，抽象成字母 a、b、h。让学生求体积，并结合 “四个关系”（下述思考有介绍）讲道理说明。学生经历由具体 —— 抽象 —— 再具体 —— 再抽象这一完整、反复的过程，道理越发清晰，直逼公式的本质。

那么以上的学习过程，可以概括为：明白一个本质，抓住三个核心，设计四个层次，理解四个关系，进而形成模型。

当得出字母公式 V=abh，确定 a、b、h 的取值范围，一开始学生会谈到是自然数，然后老师追问所有自然数都能吗？学生想到得是非零自然数，课件配合演示当其中一项为零，长方体就变成长方形了，就没有体积了。老师又追问只能是非零自然数吗？小数可以吗？学生陷入了深思，老师更改板书中第二个长方体长 4cm，宽 3cm，高 2.5cm，原来 2 层变成 2.5 层也是可以的，得出有 30 个小正方体（度量值）由 “非零自然数” 操作得出得结论，推广到所有得非零数，计算公式应用到小数范围内才更合理。

【思考】在操作过程中，需要理清四个关系：“体积与体积单位的关系”“体积单位的数量与每排个数、排数、层数的关系”“长、宽、高的长度与体单位摆放之间的关系”“最后得出体积与长宽高之间的关系” 帮助他们逐渐领悟长方体体积公式的原理，对体积的计算不仅知其然，而且知其所以然。通过四个层次的度量，水到渠成的悟出道理。

四、沟通联系，进行演绎推理

那么正方体体积又该如何推理呢？还需要再操作度量吗？学生会用自己的方法推导。有的学生严谨些，有的学生想法新颖些，比如：

1、因为长方体体积 = 长 × 宽 × 高

正方体是特殊的长方体，正方体的长、宽、高都相等。

所以正方体体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长

2、假设通过小正方体拼摆后找联系，第一个棱长相当于告诉一排有几个；第二个棱长相当于告诉有几排；第三个棱长相当于有这样的几层。三者相乘得到小正方体的块数，也就是正方体的体积。

课后反思

时隔两年，执着的我又上长方体公开课，内心一直有一个想法 “体积的度量难道就不能像面积那样真正度量吗” 这次绞尽脑汁终于想到了办法：可以拿透明塑料来制作开口的长方体（度量对象），一开始学生对 1cm³ 小正方体的角色也很明晰（度量单位），操作过程也看的清清楚楚，课堂上学生需要做的是通过度量单位对不同长方体（度量对象）进行度量，从而寻找度量值。从开始的全部摆满 —— 摆下面一层和沿着高摆一列 —— 分别沿着长、宽、高摆 —— 彻底摆脱小正方体（用直尺度量）—— 形成长方体体积模型。三维空间大小的度量转化成了三个方向一维长度的度量，直接度量变成了间接度量，也就是数单位体积的个数转化为公式计算。从特殊到一般，从具体到抽象，从繁琐到简洁，发展学生的抽象思维，推理能力，模型思想。

我们经常说要用教材教，而不是教教材，在读懂编者意图和教材的基础上，结合学生实际情况，创造性的使用教材，设计有效的学习活动，让度量真正发生。

学生经历了一次 “观察 — 发现 — 猜想 — 验证 — 归纳” 的数学发现过程。学生不仅能通过学习获得数学结论，更重要的是逐步学会了获得数学结论的思想方法，提高了主动探索、获取知识的能力，学习解决数学问题的方法。而在积极参与 “发现 — 猜想 — 验证” 的学习过程中，学生通过独立思考、合作交流、逐步感悟了数学思想，也积累了丰富的数学活动经验。作为数学老师，更应当注重学生学习过程中的观察发现，鼓励学生大胆猜想，合理证明，唯有这样，才能更好地落实《数学课程标准（2011 年版）》中所说的 “在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力” 的要求。