本帖最后由 asd13835839497 于 2019-10-31 18:03 编辑

预设问题：对于用直尺度量角在本节课中的必要性和价值，您是如何理解的？

依托课标，遵循儿童认知起点

义务教育数学课程标准（2011 版）指出，教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础。儿童对于长度的度量是最为熟悉的。他们最初认识的度量就是长度的度量，接着面积，而面积的度量，最终又回归到长度的度量。再到角的度量，学生自然会与长度的度量联系在一起。

学前检测，在儿童立场处坚守

这点在前测和课堂教学中都得到了验证。我们在城区和乡镇各选取一所学校，分别随机选取 60 名学生进行前测。大家看，这是前测题当中的 2 号题。先问怎样比较角 1 和角 2 的大小？再问请你用语言和画图，进一步表示出右边角的大小。按照选择的方法进行分类 分成了 6 种。其中用直尺量学生产生的思维最为多样（一一介绍），且比例达到了近 25%。可见直尺量既遵循了儿童的经验，又能激发孩子的思维。

教材对比，领悟编者编写意图

站在儿童视角的基础上，我们回归教材，选取了全国比较典型的 8 个版本教材进行了对比。从这个统计表中，我们清晰的可以看到，北师大版呈现出两个特点，一是角的度量方法预设的最多，二是只有北师大版中有直尺量。编者的意图是什么？新世纪小学数学微信公众平台 10 月 8 日【教学有方】栏目推送了黄丽华老师的一篇文章。题目是《教学有方，学生创造背后的意义》，文末总结到教材的这种安排，有效地促进了学生基于自身经验的 “创造”。而创造背后也蕴含了丰富的意义。在创造过程中建立知识之间的联系，培养思维的系统性；在创造过程中不断为学生积累、发展学生学习活动经验；在创造过程中为学生提供与历史上科学家做出同样努力的机会。

基于以上三点，我们认为用直尺量应该给孩子们更多的时间和空间去思考。为将来角度与弧度的转化，角度与长度的统一做准备。

追问问题：本节课中如何体现 1° 的必要性和价值

度量的核心是度量单位，史宁中教授在《度量单位的本质及小学数学教学》一文中谈到：度量单位是计量事物标准量的名称，几乎所有度量单位的产生和发展都经历了漫长的时间，承载了度量单位由多元到统一，从粗糙到精细的发展过程。这也是我这节课围绕这一认识展开教学的。

多次比较中，体会度量本质

第一次是定性比较∠2 和∠3 的大小。学生有用到的是直观比较，也有学生用到重叠法比较，其实也是以∠2 为单位进行度量∠3 的，为后面用小角为单位进行度量对象角做示范。

多次比较中，体会度量本质

第二次是定量刻画∠2 和∠3 的大小。（突出 PPT 呈现学具）

学生呈现的方法有三种：

一是使用量角器，因学生不知道量角器制作原理，以及使用方法，本节课暂时搁置。

二是使用直尺测量角的张口大小，其中一种是在每个角的水平边上各取相同长度，得到一个点，过该点画这条边的垂线，测量垂线段的长度。学生误以为垂线段的长度就是角的大小。

另一种是在每个角的两条边上各取相同长度，测量连接两点线段的长短，学生手中的∠2 和教师手中的∠2 角的大小相等，但是学生测量的线段长短不同。同样的角而出现不同的度量结果。学生的认知发生锚段，发现用线段长短不能直接定量刻画角的大小。

通过视频播放回顾测量铅笔长度和桌面大小的过程，学生类比得出用标准角去度量角的大小。

以不同的小角为单位角，分别度量∠2 和∠3。以三角尺的小角（30°）为单位角，度量∠2 是 1 个多；以∠1 为单位角度量，∠2 是 2 个多…… 学生对比发现同样是度量∠2，得到的结果却不一样，寻求原因是单位角不统一。度量单位统一，才能用同一个数刻画角的大小。

在第二次比较后发现，用∠1 不易度量剩余角的大小，原因是∠1 比剩余角大。进而引出用比剩余角还小的角为单位角去度量，接着用∠1 的 1/4 为单位角进行第三次定量精细刻画比较。通过对比发现：单位角变小，剩余的角也越小，度量结果越准确。体现单位精细的重要性。

在逐步细分中，寻找通用标准单位

怎样使度量结果更精确呢？学生想到用更小的角为单位。我们需要寻找一个角作为角的标准单位。全世界什么样的角大小是一样的？学生谈到周角、平角、直角，其中以周角为标准进行细分，越来越小，古人结合天文现象和数学内部知识，确定平均分成 360 份，每一份的大小也就是 1°，通常 1° 作为度量角通用的单位。

度量值精确，有两种办法：其一是用小数表示，另一种用整数表示，需要继续细分单位，看度量对象里有多少整数个小单位。而用小数或分数表示的过程其实也在细分单位。所以我们这堂课一直在细分中寻找标准单位。1° 的角为单位度量角要么没有剩余，要么剩余角很小很小。不管是舍，还是入，得到的近似值与准确值非常接近。

以上环节不断通过单位角寻找角的单位。

基于以上安排顺序，我们真正的目的：要让学生在单位角统一的前提下得出结果相同，不断细分单位角，寻找角的单位。板书中图与文字从上到下对比，直观体现了学生经历了真实、丰富、完整度量过程，学生发自内心体会单位精细，度量结果的准确。

为何用等分周角定义 1°

首先，周其实也是角的单位，没有谈到并不意味着不存在。同时周也是角最大的单位。

角的大小与开口有关，开口越大，角就越大。那么开口指的是什么呢？指的是哪个位置的开口？有的学生以为越靠后开口越大。即使固定一个位置的开口，指的是两点之间线段的长度呢？还是垂直线段的长度？还是指的角的标志 “弧” 的长吗？或指的是开口包含的面积吗？感觉角的开口，容易意会而不易言传。

我们团队认为：开口指的旋转了多少？如 1 周、3/4 周、1/2 周、1/4 周…… 从而凸显出 “周” 的重要性。

其次，用周角引出 1° 的角，比较顺畅。这样感觉 1° 的来历是有源之水，有本之木。与曹培英老师观点有相似之处

曹培英老师在《角的度量》教学新探索返璞归真中，谈到角的度量教学还能探索什么？谈到目前小学数学教材定义角的单位时，都采用 “把圆平均分成 360 份……” 的描述，而不是 “把周角平均分成 360 份”。因此，似有必要通过追问 “圆有大小，圆的 360 分之一也有大小，这样的规定能统一吗”，提醒学生注意 1° 角是 “1 份所对的角，而不是圆的 360 分之一”。从而进一步理解角的大小取决于两边张开的大小，与边画的长短无关。

不难发现，“等分周角” 与 “等分圆” 各有利弊。前者与角的本意一致，容易理解，但需要先定义周角，而本课的前一课内容，学生正好认识了周角和平角，符合学生的最近发展区；后者有利于中学数学引入弧度制，但需要以圆的认识为基础。而圆的知识到了六年级学生才学习的。

出于以上两点考虑，在教学过程中，用等分周角定义 1°。