数形结合，从“方法”到“思想”的飞跃（二）二、数形结合，作为数学方法的表现形式　　数形结合方法的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。这里的“数”指数学术语、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式；“形”不仅仅指几何图形，还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料，以及用这些材料呈现数学信息的方式。　　数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动和直观性认识“数”，即以“形”为手段，“数”为目的；或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性，此时，“数”是手段。　　1.以“形”助“数”。“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。　　（1）数学概念的建立借助“形”的直观。由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。同样，运算的概念（如“除法”、“余数”）、数学术语（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的参与。　　（2）数学性质的探索依赖“形”的操作。数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。如教学“3的倍数的特征”可作如下设计：让学生用9根小棒摆出三位数，判断是否是3的倍数；8根、6根呢？操作中学生发现，组成的三位数是否是3的倍数只与小棒的根数有关，而与摆的方式无关，根数就是各数位上数的和。又如，“分数的基本性质”、“小数的性质”可以让学生在对图形的等分中理解。 （3）数学规则的形成需要“形”作材料。数学规则在小学主要是有关演算过程的具体实施方法。规则学习是学生技能形成的先导。让学生明确规则的合理性、理解其推导过程的意义，不仅仅在于理解算理，更重要的在于学会学习，实现过程性目标。而数形结合能降低思维难度，让学生有信心和能力归纳出法则。如“20以内进位加法”是通过实物操作体会“凑十”的过程；分数乘法（如1/2×1/5）法则在折纸过程中归纳算法；长方形面积计算方法在“摆（面积单位）→数（小正方形个数）→想（个数与长宽关系）”等过程中获得。 （4）解题思路的获得常用“形”来帮助。借助图形解题的最大优势是将抽象问题形象化。因为将数量信息反映在图形上，能直观表现数量间关系，从而获得解题思路。尤其在解较复杂的文字题、应用题（如“种植株数”、“截断”等）时，恰当选用线段图、示意图、集合图等等，是寻找解题途径最有效的手段之一。

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余振兴

数形结合，从 “ 方法 ” 到 “ 思想 ” 的飞跃（二） 二、数形结合，作为数学方法的表现形式

　　数形结合方法的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。这里的 “ 数 ” 指数学术语、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式；“ 形 ” 不仅仅指几何图形，还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料，以及用这些材料呈现数学信息的方式。

　　数形结合的方法具有双向性：借助 “ 形 ” 的生动和直观性认识 “ 数 ”，即以 “ 形 ” 为手段，“ 数 ” 为目的；或借助于 “ 数 ” 精确和规范地阐明 “ 形 ” 的属性，此时，“ 数 ” 是手段。

　　1. 以 “ 形 ” 助 “ 数 ”。“ 形 ” 的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要 “ 形 ” 的支撑。

　　（1）数学概念的建立借助 “ 形 ” 的直观。由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而 “ 形 ” 的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。同样，运算的概念（如 “ 除法 ”、“ 余数 ”）、数学术语（如 “ 平均分 ”、“ 大于 ”）等等都需要 “ 形 ” 的参与。

　　（2）数学性质的探索依赖 “ 形 ” 的操作。数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。如教学 “3 的倍数的特征 ” 可作如下设计：让学生用 9 根小棒摆出三位数，判断是否是 3 的倍数；8 根、6 根呢？操作中学生发现，组成的三位数是否是 3 的倍数只与小棒的根数有关，而与摆的方式无关，根数就是各数位上数的和。又如，“ 分数的基本性质 ”、“ 小数的性质 ” 可以让学生在对图形的等分中理解。

（3）数学规则的形成需要 “ 形 ” 作材料。数学规则在小学主要是有关演算过程的具体实施方法。规则学习是学生技能形成的先导。让学生明确规则的合理性、理解其推导过程的意义，不仅仅在于理解算理，更重要的在于学会学习，实现过程性目标。而数形结合能降低思维难度，让学生有信心和能力归纳出法则。如 “20 以内进位加法 ” 是通过实物操作体会 “ 凑十 ” 的过程；分数乘法（如 1/2×1/5）法则在折纸过程中归纳算法；长方形面积计算方法在 “ 摆（面积单位）→ 数（小正方形个数）→ 想（个数与长宽关系）” 等过程中获得。

（4）解题思路的获得常用 “ 形 ” 来帮助。借助图形解题的最大优势是将抽象问题形象化。因为将数量信息反映在图形上，能直观表现数量间关系，从而获得解题思路。尤其在解较复杂的文字题、应用题（如 “ 种植株数 ”、“ 截断 ” 等）时，恰当选用线段图、示意图、集合图等等，是寻找解题途径最有效的手段之一。