对数学的误解见于各年龄层的人与各种不同的数学领域。要测出学生数学理解力的最好方法，可以给学生一连串数字，看他们如何立即不假思索地开始运算。我们已目睹学前儿童与低年级的小学生，有忍不住的冲动，想将凡是看到的数字相加起来。出于类似的原因，大部分的学生首次做分数加法时，也会产生困难，因为他们会加两分子相加，两分母也相加（因而１/2 加１/２等于２/４）。我们敢说大学性向测量或成就中，许多题目错误答案是题目中两数的和或积在作怪。出题者知道，有困惑的学生会直接相加或相乘，僵化地运用最相关的算法，以求做得好。（１）１７１

在工作的时候，我们常会感觉到某一方面直觉的或常识性的知识，与另一方面逐渐出现的复杂符号之间的断裂。最近我观察一个八岁大的小孩学习用尺度测量。他要量的是一个切成 “Y” 一个边和尺子的一端挨着，再读出尺子另一端的数字，“四英寸”、“五英寸” 甚至 “五、六英寸之间”。然后，他随后决定去量边的短横杠（尖端）。在这种情况下，他把这一端放在尺的中间，便宣告它长 “七英寸”， 显然他并未领会到，所有的测量都必须从开始（或对应的位置）而量出的结果是离开原点的距离。相反，他只是单纯地应用读出数字这一规则，将于他注意焦点相结合的数字读出。（１）

当然这个八岁的孩子以感觉动作的方式，知道尖端的小横杠比边要短，当我原因，直接问他 “哪一段长” 时，他马上就说出边比较长。他错误的原因，用我们的词汇来说，是他未能领会感官动作方面的信息（哪一段较长）与测量系统操作之间有的关系。他的行为就像那个被问水温是几度的小孩：两杯水的温度都是 10 摄氏度，将两杯水倒在一起后水的温度是几度？那个孩子愉快地把两数相加，便宣布说混合物的温度是 20 摄氏度。这孩子未能将运算法则与直觉的知识综合起来，而让运算法则来指挥答案。（１）

就像在直觉知识与符号性知识之间有断裂一样，甚至符号性知识内部相关的形式之间，也有奇怪的分离。科布讲过一个小女孩用数数的方式从 16 开始每次加 1，而得出 16+9 的正确答案。同一问题让她用笔算时，她不会进位，得到的答案是 15，她认为两个都对，作业纸上的问题答案应该是１５。若问题是１６饼，干再多加９个饼干，答案就是２５个饼干。科布的解释是：“对小女孩来说，学校教的算术似乎是处于孤立、自备的背景，除了用记忆把预设的方法想出来之外，不可能用任何其他方法来解答．”（１）

   《末受学科训练的心智》  作者 霍华德。加德纳 （2010 年摘录）