搭配中的学问

执教教师：

顾 思 吉林省长春市东北师范大学附属小学

答辩成员：

杨 滨 吉林省长春市东北师范大学附属小学

薛若冰 吉林省长春市东北师范大学附属小学

吴明宇 吉林省长春市东北师范大学附属小学

指导教师：

王春英 吉林省长春市东北师范大学附属小学

王 丹 吉林省长春市东北师范大学附属小学

【答辩团队风采展示】

【教学内容】

新世纪小学数学（北师大版）三年级上册 76～77 页

【教材分析】

《搭配中的学问》是北师版教材三年级上册 “数学好玩” 单元的内容，属于排列与组合问题中的组合问题，是学生以后学习概率统计知识的基础。本节课主要落实小学数学核心素养中的三方面：一是积累有序操作体验，体会有序思考的价值，培养学生的推理能力；二是积累符号化表达的体验，感受数学方法的简洁性和优越性，培养学生的符号意识；三是通过已有经验完成挑战性任务，培养模型意识，内化核心素养。

《搭配中的学问》教材编排的第一个特点：通过多次学习，由浅入深层层递进地让学生掌握排列与组合这部分知识；注重有序思考、符号意识的培养。第二个特点：教学时，每个环节出现的问题类型，都可以通过抽象出来的符号让学生总结归纳，教学中涉及到的几个情境都可以用这些符号表示，进而使学生理解所有需要搭配解决的问题，其实是 “一类” 问题，进而渗透建模意识。

【学生分析】

为了了解学生解决搭配问题中的符号意识和有序思考能力，我们对 6 名分别代表不同学力水平的学生进行了访谈。我们访谈的题目是：有 2 件上装，3 件下装，一件上装和一件下装是一种搭配，一共有多少种搭配？6 人都能答对，只是学生思维发展程度不同，表示的方法有不同层次的表现。

学生 A：采用了文字与画图相结合的方式，进行乱序尝试，在访谈期间只找到 3 种方案。

学生 B：也是画图与文字相结合，与学生 A 不同之处在于，B 直接想到了有序搭配。

学生 C：采用画图一一列举的方式，并对图像进行了编号，说明他有意识进行有序搭配。

学生 D：采用了画图连线的方式，连线过程中，是从一件衣服入手来连三条裤子，具有有序搭配的能力。

学生 E：在简单画图之后直接写出了乘法算式。

学生 F：用圆圈代表上装，三角代表裤子，也找到了全部搭配方案。

以下是访谈中 6 名同学的作品。

基于上述访谈，我们认为大部分学生基本已具备解决简单的搭配问题的能力，有通过有序思考来找到全部搭配方案的意识，部分学生开始自发的用抽象图形符号来表示搭配方案，说明学生的符号意识已经萌芽，具备进一步培养的前提条件，因此我们确定了本节课的重点是符号意识的培养，通过抽象出来的符号更好地去推理，发现多个不同情境可以用同样解题方法来解答，让学生体会符号表征的一般性，进而培养建模意识。

【学习目标】

1. 结合 “搭配餐食” 等现实情境，探索简单的搭配方法，能用适当的方法表达搭配方案。

2. 在独立探索、展示交流过程中，培养有序思维能力；通过用不同符号表达搭配方案，探索搭配规律，培养符号意识和推理能力。

3. 在解决问题的过程中，体会用数学符号进行表达的简洁性，感受数学与生活的联系。

【教学过程】

一、创设 “我为偶像选餐食” 问题情境，在解决搭配问题的过程中，培养有序思维和符号意识

师：刚刚结束的北京冬奥会，是一次体育盛会，我们都太喜欢看了，不仅运动项目精彩，冬奥会的一些趣事也特别吸引人，淘气就发现了很有意思的事，我们一起看看吧！

师：冬奥村为运动员们准备了丰盛的食品，中国的饮食成了全世界人民关注的话题，我们所喜爱的谷爱凌姐姐也很喜欢中国饮食的搭配。让我们一起来帮助谷爱凌姐姐搭配一下早餐吧！

教师出示情境图：2 种主食：包子、豆沙饼。3 种粥：黑米粥、小米粥、蔬菜粥

教师提出问题：淘气想，一种主食和一种粥是一种搭配的话，一共有多少种搭配的方法呢？

（一）独立学习，探索搭配方法

师：我们这样来学习，请同学读一读学习指南。

（二）小组交流，分享搭配方法

师：我们开个 “小组博览会”，请组长组织组员轮流展示，说一说自己的方法。

1. 轮流分享：小组成员按顺序轮流说一说你的搭配方法。要注意聚拢，分享时把自己的作品放在中间，一边指一边讲。

2. 交流讨论：小组推荐一种值得学习的方法，说一说哪里做的特别好。

（三）集体学习，汇报不同的搭配方法，体会有序思考和符号表达的便捷

1. 交流摆图片的方法，体会有序思考

预设学生会出现以下方法：

方法一：摆图片的方法一一列举

第一种思路：学生会用同一种主食搭配不同的粥。

第二种思路：学生会用同一种粥搭配不同的主食。

方法二：图片与连线相结合表示搭配方案

水平一：仅对一组搭配对象进行简化表示

在学生汇报时，教师追问搭配的思路，引导学生体会在搭配时，要先分类，再按照一定的顺序进行搭配才能不重复，不遗漏。

师：你看懂他们的搭配方法了吗？你更喜欢哪种方法？

学生会推荐连线的方法。

师：明白你的意思了，推荐他的方法好是因为比较简洁，同样是用包子搭配三种粥，第二种连线的方法用了较少图片，不容易摆乱。我们看，他请来了 “直线” 帮忙，只要连起来，就能看出来让一种主食和不同的粥搭配，或者一种粥和不同的主食搭配，按照一定顺序思考，就能不重复不遗漏的表示出所有搭配方法。

师：谁用的图片比他还少，也有顺序的表示出了搭配方法？

水平二：同时对两组搭配对象进行简化表示

【设计意图】解决排列组合问题中，学生在用实物解决搭配的相关问题时，通过操作体验用分类的思想呈现有序思考的方法。分类思想是排列组合中最为常用的数学思想，即当被研究的问题包含多种可能的情况，导致我们不能对它们一概而论的时候，迫使我们按可能出现的所有情况来分类讨论，得出各类相应的结论 。以搭配情境为依托，把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类讨论，再把每一类的结论综合，让有序思考变得清晰、可见。从方法一实物图片一一列举出各种搭配上升至方法二的第一水平减少相应图片与连线相结合体现搭配方法，方法二的第二水平用最精简的图片数量表示所有的搭配方案，在从直观过渡到半抽象的表征过程中，引导学生逐步感受分类搭配的有序思维。

2. 交流画一画或写一写的方法，培养符号意识

（1）用文字表示搭配方案

师：老师看到有的同学在练习本上用画一画的方式表示出了搭配方法，我们请他来分享。

学生可能出现的方法：

①用文字一一列举

学生评价：他的这种方法就是用文字代替了图片进行了一一列举，不用受图片的约束，没有图片，也能表示出搭配方法，就是汉字书写的多，有点麻烦。

②文字和连线相结合的方法

学生评价：文字少了，看起来很简洁

③列表法

学生评价：他的方法就是用一种主食与不同的粥搭配，和第二种方法差不多，就是放在了表格里。

（2）用符号表示搭配方案

师：老师还看到有一些同学没摆图片，也没写文字就表示出来了，我们请他来讲一讲。

预设学生方法：

教师引导学生思考：用符号或字母表示搭配方法，你读懂了什么？他用什么来代表主食，用什么来代表粥？这样有什么好处？

引导学生感受：用相同的图形或字母，可以代表同一类物品，为了寻找搭配方法，可以忽略物品的具体名称，只要用图形或符号表示出来就可以了。

同样是图形和字母表示，用图形和数字相结合或字母和数字相结合能更简单清楚地表示出搭配方法。

【设计意图】引导学生比较、观察，通过对比使学生看到由具体文字表述、画图表示到抽象的符号表达过程，体会符号表达的简洁性、明确性等优点。从分类的思想方法分析，要把两类事物搭配在一起，画图时，同一类需要用相同字母表示，比如主食都用 A 来表示，可通过添加角标来区分不同品种。这样引导学生进一步认识符号对进行数学表达和数学思考的重要作用。体会图形直观性和数形结合思想的优势，由浅入深、循序渐进、不断提升，学生接受了从客观实物到数学符号的抽象，才能更好地将数学符号有效内化，发展符号意识。教学设计中实现了从 “画符号到符号化的转化”，并实现了从 “符号化向符号规范化的迈进”。

3. 拓展提升，提炼数量关系，初步建立搭配问题的模型

师：我们帮助谷爱凌姐姐搭配出了 6 种早餐，用不同的方法进行了表示。有的同学是把搭配的方案逐一数出来的，其实在搭配的过程中，能很快的得到搭配方案的数量，谁发现这里面的奥秘了？

预设方法一：要用一种主食，搭配不同种类的粥，就会有 3 种方法。两种主食就是 2 个 3，也就是 3+3 或 2×3，所以是 6 种。

预设方法二：要用一种粥，搭配不同种类的主食，就会有 2 种方法。一共 3 种粥，就是 3 个 2，也就是 2+2+2 或 3×2，也是 6 种。

教师借助连线方法进行讲解，结合乘法的意义，提炼数量关系，建立模型表象。

【设计意图】归纳的过程引导学生从简单情形开始寻找规律，学生在用不同的方法表示搭配方案的过程中，已经建立了搭配的模型表象。教师在此基础上，起到了引领的作用，拨茧抽丝，帮助学生抽象出搭配的本质，提炼挖掘数量关系，帮助学生形成运用乘法的意义解决实际问题的能力。

二、创设 “我为偶像做设计” 情境，应用符号意识解决问题

师：作为谷爱凌姐姐的小粉丝，淘气想为爱凌姐姐搭配一下帽子与运动服的穿搭，快来帮他看一看。

教师出示问题：有 3 顶帽子，与 4 套运动服进行搭配，可以有多少种搭配方法呢？请你表示出来。

预设学生会运用刚才学过的方法进行表示。

教师追问：这里的字母表示什么？

以字母为例引导学生感受符号表达的规则，即在相同的问题情境中同一符号表示同类事物，而在不同的问题情境中，符号可以根据需要赋予不同的意义。对于符号表达规则的认识能够帮助学生体会数学符号表达的一般性、普适性。

【设计意图】在运用符号表达的过程中，夯实搭配的表示方法；同时引导学生进一步体会用符号表达搭配要忽略事物的物理属性，感受符号表达的一般性。

三、创设 “我为偶像选路线” 问题，深化有序搭配和符号表达

师：淘气发现，在奥运村中，公寓到中餐馆有 2 条路线， 中餐馆到比赛场地有 3 条路线。

教师出示问题：公寓到比赛场地一共有多少条路线可以走？

教师请学生尝试用自己喜欢的方法快速表示出所有路线。

预设学生可能会用字母列举的方法

观察比较，路线图中的字母和刚才我们用的字母有什么不同？

预设学生回答：这里的 A 代表一段路，和后面的三条路进行搭配；刚才的 A 代表的是一顶帽子，和不同的服装进行搭配。字母可以表示不同的事物，

【设计意图】符号是在人类概括思维作用下，找到了客观事物共同属性或特征加以归纳并对本质属性进行有意义的抽象，比如衣服可以用 A 表示，一段路也可用 A 表示，一个人可以用 A 表示，一个班级也可用 A 表示。

四、梳理提升，深化学生主动使用符号表征的意识

师：今天你有什么收获？

预设学生回答：我学会用不同符号表示不同物品，还会用数字加以区别同类物品，用算式计算搭配方案的数量。

师：出示搭配图，这是笑笑表示的搭配方法，你能根据这幅图编一个有关搭配的故事吗？

师小结：今天我们共同研究了搭配中的学问，我们感受到符号带给我们的便利性和简捷性。在日常生活中，还有很多问题能用到今天学到的有关搭配的知识，请你用心观察，在生活中找一找吧？

【设计意图】学生通过梳理总结所学知识，经历搭配的过程和讨论的过程，感受数学符号是一种思维发展的必然。数学符号本身具有的便利性、简洁性和审美性特质。上述情境中学生已经通过符号表征和推理逐步抽象出了这一类搭配问题的数学模型，设计编故事的环节可以提高学生的识图和辨识模型的能力，实现由生活到数学，再从数学回归生活的完整过程。

【教学设计点评】

一、创设连续的现实情境，体会符号表达的必要性

培养学生的符号意识，要注意对符号引入的必要性和自然性的说明。英国数学教育学家豪森指出：“没有必要引入任何符号或缩写，除非学生自己已经深深感到了这样做的必要性，以至于他们自己提出这方面的建议，或者至少当教师提供给他们时，他们能够充分体会到它的优越性”。

本课教学设计中，创设了连续的生活化的问题情境，采用冬奥会作为研究背景，建立 “我为偶像选餐食”“我为偶像做设计”“我为偶像选路线” 问题串，很大程度地激发学生的学习兴趣。在创设了这种自然的的情境后，学生解决搭配问题，引入符号，学生会深切的体会到符号表达的必要性。

二、循序渐进的教学设计，突出培养学生的符号意识

1. 教学内容的选择是培养符号意识的重要载体

学生能力素养的培养要顺应学生身心发展的客观规律。有学者对义务教育阶段的 18 所中小学学生的符号意识发展水平做了测评。通过其绘制的学生数学符号意识发展曲线我们可以看出，义务教育阶段各年级学生数学符号意识总平均分出现了两次大幅度上升，一次是二年级至三年级，一次是从七年级至八年级。这说明二三年级和七八年级是学生符号意识发展的两个关键时期。在这样的关键时期，选取合适的知识载体，有意识的培养学生的符号意识往往可以起到事半功倍的效果。《搭配的学问》是北师版三年级上册数学好玩中的内容，从时间上看正处于学生符号意识发展的第一个关键期。

数学知识体系结构复杂而严谨，前序知识的学习往往很大程度上影响后续知识的学习和能力的提升。而符号意识的培养是每个学生核心素养提升的重要内容，如果能够选取一个可以有效承载符号意识的培养，同时对前序知识学习依赖性不强的内容开展以培养符号意识为核心的教学对学生符号意识的发展无疑是最为有利的。此次选取的《搭配中的学问》恰恰具备了这一优势，同时其承载知识的生活情景又和实际生活联系非常紧密，学生有较为丰富的生活经验，为学生抽象出符号，并通过符号来实现对数学问题的理解和表达奠定了基础。

2. 教学环节的设计体现符号表达的一般性

学生符号意识的发展水平不均衡，总体水平呈现为多层次混搭。教师利用学生间发展水平的差异，实现了异质交流，即由低到高的呈现处在不同符号意识发展水平的学生解决问题的方法，在这个过程中，学生能够体会主动使用符号可以简化寻找搭配方案的过程。具象图片 —— 文字表达 —— 图形表达 —— 字母表达，四种方法的交流分享，引导学生体会寻找搭配方案需要思维的有序性，从而找到搭配对象间的关系，最终找到简化记录、表达搭配方案的方法。

合理的教学设计是充分展示学生能力发展水平的前提，如果教学的核心问题串设计梯度过大会造成能力发展水平较低的学生无法完成学习任务，不但不能实现能力的提升反而会丧失数学学习的兴趣和信心；问题设计过于简单，又会使得学生即便已经发展到了高水平也不一定能够很好的呈现。

第一个教学环节的设计采取开放式问题，不机械的规定学生对搭配方案的呈现方法，但是在学习指南中给出了可以摆一摆、写一写、画一画的提示，给每个层次学生的思考都搭了梯子，这样的设计兼顾了各个层次学生，为后续从低到高的呈现各个符号意识发展水平的解决问题方法做了很好的铺垫。有的学生会用图片摆出每一种搭配方案；有的学生能够想到包子可以搭配三种不同的粥，我们就可以把包子出现的次数从三次降低为一次，用连线来表示他们之间的搭配关系；还有的学生能够认识到包子和豆沙并都归属于主食，我们可以用一个符号来表示主食，用角标来区分不同的主食，在教师的引导下学生还能够对提炼数量关系、建立模型表象，用乘法算式计算搭配的种类。这些方法的进化都是建立在学生有着丰富的生活经验，对要搭配的物品间有着清晰的本质认识，同时对简化繁杂的表示方法有主动意识的基础上。而对付符号意识发展水平较低的学生，他们在第一环节通过倾听、理解高水平学生的记录方法认识到符号引进的必要性，体会符号选取和使用的方法，提升其想要主动使用符号进行表达的欲望，为后续任务的完成积蓄力量。

第二环节时，大部分学生使用的方法都相较于原有方法有了进步，开始体现出明显的使用符号表达的意愿，原本采用几何图形和字母表达的学生基本可以列出乘法算式，计算出搭配方案的数量。到第三环节时，学生能够进一步的寻找客观事物的共同属性，通过归纳对本质属性进行有意义的抽象，使得符号的抽象和使用更为顺畅。

本课教学兼顾了不同符号意识发展水平的学生需求，充分的利用了学生间的个体差异，实现了学生在原有基础上的符号意识的发展，有效的增强了学生对符号的感知力，调动了学生主动使用符号进行推理和表达的积极性。

【我对符号意识的理解】

《义务教育数学课程标准（2022 版）》明确提出，符号意识作为小学数学阶段核心素养之一，主要是指能够感悟符号的数学功能。知道符号表达的现实意义；能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律；知道用符号表达的运算规律和推理结论具有一般性；初步体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。符号意识是形成抽象能力和推理能力的经验基础。

数学源于对现实世界的抽象，符号意识是抽象的具体表现，数学的起点是符号，数学符号是物质性与抽象性的统一、约定性与精确性的统一、简洁性与通用性的统一、层次性与生成性的统一，一些重大的数学进展都应该归功于符号的发明。著名科学家伽利略曾说过：“没有数学符号，我们只能在黑暗的迷宫中徒劳地摸索。”

可以说，整个数学的发展历史就是符号意识的产生和发展的历史，通过符号意识的培养，可以使数学的思维过程更加精确、概括与简洁，从而更容易揭示数学的本质。从心理学角度来看，意识是包括思维、直觉和感悟在内的一种复杂的认识活动。它在人的各种心理活动中发挥着调节、指导和控制的作用。因此，符号意识是内隐性与外显性的和谐统一，符号意识的内隐性主要表现在以思维为主导的心理认知活动；符号意识的外显性主要表现在对数学符号感知、运算、推理和表征等综合能力。

基于上述分析，我们认为，符号意识即学习者在思维 (具体表现为数学思维) 的引导下，对数学知识与数学符号之间抽象对应关系的一种积极主动的心理认知活动 (内隐性)，在通过数学符号的感知与理解、运算与推理、交流与表达等数学思考方式解决数学问题的过程中所表现出来的与数学符号相关的一种数学核心素养 (外显性)。符号意识是一种主动使用符号的心理倾向，需要在广泛的运用中养成。因而，教师需抓住并让学生明确可以进行符号表征的时机，引导学生用符号表示数学内容。本节课的内容相对抽象，教师可以引导学生用符号表示，减轻思维负担，提高解决问题的效率，这是培养学生符号意识的好机会。

【思考在延伸】

1. 学生在表达搭配方法的过程中，多数学生会用图形代表事物。如：用○代表一类事物，用□代表另一类事物，经历几次解决搭配问题的过程，归纳出搭配方案的总数用○的个数乘□的个数。

在低年级儿童学习数学的过程中，经常用到 “○” 这样的符号。如数的认识领域 “2 个人数量和 3 个人的数量比大小”，学生用 2 个○代替 2 个人，3 个○代替 3 个人，抽象为 2 个○和 3 个○比大小。在理解加减法运算意义时，如 “4 个苹果和 5 个苹果一共有多少个”，学生也是用画○的方式进行表达。

像 “○” 这样的符号是低年级儿童描述现实问题时常用的数学语言，也是教师培养儿童抽象能力的重要工具。它不是数学符号系统中的数学符号，那么根据它所代表的功能，这类符号可以怎样命名呢？

2. 有专家研究了学生运用字母的认知水平，成果显示了 6 个层级。本研究团队成员也希望在后续教学中，结合学生的表达方式，梳理出低年级儿童符号意识的层次性。

【教材图片】