字母表示数

执教教师：李玉珍 山西省孝义市金晖小学

答辩成员：马红艳 山西省孝义市金晖小学

冯  虹 山西省孝义市金晖小学

刘婵媛 山西省孝义市金晖小学

指导教师：张孝萍 山西省孝义市教育科技局教师发展部

张晓蓉 山西省孝义市金晖小学

【答辩团队风采展示】

【教学内容】

新世纪小学数学（北师大版）四年级下册 61～62 页

【教材分析】

《认识方程》是 “数与代数” 的一个重要内容，《字母表示数》是北师大版教材四年级下册的《认识方程》的第一节。“字母表示数” 是人类数学发展史上的第二次抽象，用字母表示数摆脱了使用具体的数研究问题的局限，提供了揭示数量关系一般性的可能，有助于探索事物的内在联系，在探索事物的表达方法、解题思想和研究方法等方面都发生了深刻的变化，也由此揭开了代数篇章。本课的学习，正是学生由算术思维迈向代数思维的关键，理解字母表示数、表示数量关系是学习代数的关键，还是学生后续认识方程、用方程解决问题，进入初中学习代数式方程，不等式，函数等进行交流的前提条件，所以这部分的教学至关重要。

《用字母表示数》这节课的特点是：1、抽象性 2、符号化思想。由具体的数和运算符号组成的式子过渡到含有字母的式子，整个教学过程实质上是从个别到一般的抽象化过程，本节的学习除了让学生感受字母表示产生的必要性，体会符号的简洁、概括的特点外，更要会使用符号表示、描述数量关系，进行表达、交流与解决问题。

字母表示数对小学生来说是比较抽象的，特别是寻找数量间的等量关系，用含有字母的式子表示数量关系。本课提供生动有趣的具体情景，帮助学生体会用字母表示数的必要性和概括性，让学生通过由浅入深，层层递进的问题设计，逐步加深学生对字母表示数的认识，通过学生间的研讨交流，体会字母表示数的关键。经历了用字母表示数的过程，学会用字母表示数和数量关系、理解不确定的事物可以用字母表示，在变与不变中，体会说不完的儿歌可以用字母概括。让学生的学习真正发生，体会用字母表示数的必要性和简洁性，发展抽象概括能力，渗透函数思想。

【学生分析】

为了解学生真实水平，找到学生的困难点 ，对分别对四年级的学生进行了前测和后测，在前期的问卷调查中，我一共设计了 6 个小问题，后测中设计了 3 个练习题（2 个基础题，1 个拓展题）针对前测和后测调查了分析，我做了以下思考：

我的思考：

1. 学生已经具有一定的认知基础。在低段的学习中，学生已经学过未知数用方框代替，从而感受加与减、乘与除的互逆关系，中低段的学习中，学生已经接触到用字母表示直线、射线和线段，用字母表示长度单位、面积单位、体积单位、质量单位，用字母表示运算定律。在已有的生活经验里，学生也接触到字母在生活中的广泛使用，对用字母表示数的简洁性有初步的体会。

2. 学生也已经学习过常见的数量关系。四年级学生的思维水平，处于具象思维向抽象思维过渡的阶段，由研究一个个特定的数过渡到用抽象的字母来表示一般的数，是学生认识上的一个飞跃，这在刚开始学习时对学生来说会有一些困难，不少学生感觉一时还难以接受，因此他们对字母表示数的理解也不可能是一蹴而就的，需要在研究实际问题的具体学习活动中反复不断地体验，逐步感受字母表示数的意义。

【学习目标】

1. 结合青蛙儿歌具体情境，会用字母表示数和数量关系。

2. 经历探索用字母表示数的过程，体会用字母表示数的必要性，发展抽象概括能力，渗透函数思想。

3. 体会数学与生活的紧密联系，在数学的变与不变中感受数学的美。

【教学过程】

一、情境导入，冲突中唤醒符号需求

师：欢快活泼的儿歌总伴随我们成长，数青蛙这首儿歌大家听过吗？一起唱一唱吧。（播放儿歌）

老师板书：1 只青蛙 4 条腿，2 只青蛙 8 条腿，3 只青蛙 12 条腿。

学生跟着说儿歌。

师：你能把儿歌接着说下去吗？

学生接着往下说儿歌：

4 只青蛙 16 条腿，5 只青蛙 20 条腿，6 只青蛙 24 条腿……

声音慢慢变低，直到学生停下来。

师：怎么不说了？有什么感受？

预设：算不完。

师：那给大家足够的时间，接着算下去。

预设：学生算一会，发现算不完，儿歌说不完。

师：这节课能说完吗？给大家一天时间呢？

预设：说不完。

师：为什么？

预设：数字有很多。

师：既然这首儿歌说不完，你能不能想一个办法，用一句话来概括这首儿歌呢？

预设 1: 无数只青蛙无数条腿。

预设 2：每只青蛙 4 条腿

师：你的方法能一下子看出 56 只青蛙有多少条腿吗？那还有别的方法吗？

预设：字母表示，比如 a。

在学生提出用字母表示数时板书：字母表示数.

学生独立思考，尝试把自己的想法记录在纸条上。

【设计意图】通过青蛙儿歌，激起学生的学习兴趣，带领学生走进情境，在情境中自发提出问题，感受算不完到说不完，从而产生探究新方法的需求，产生对用字母表示数的需要，代数思维初步渗透，初步感受字母表示数的必要性，为发展学生符号意识做铺垫。

二、分享交流， 探究中感受符号作用

老师巡视，把代表性的答案板演在展台上。

预设：

（1）a 只青蛙 a 条腿。

（2）a 只青蛙 b 条腿。

（3）a 只青蛙 4×a 条腿。

师：大家看看，你认为哪种方法最合适？把你的想法和同伴交流一下。

学生小组交流，上台展示。

预设：

（1）a 只青蛙 a 条腿。

预设 1: 青蛙的只数与腿数不一样，不能用相同的字母表示。

预设 2：在同一个情境中，相同的字母表示相同的数。当 a 是 1 时，就是一只青蛙一条腿，不符合实际。

（2）a 只青蛙 b 条腿。

预设 1：如果 a 表示 1，b 可能是 2、3，不符合实际，

预设 2：b 只能是 4、8、12、16 等数。

师：为什么只能是 4、8、12、16 这样的数？

预设：1 只青蛙 4 条腿。腿的条数是青蛙只数的 4 倍。

师：在同一情境中，相同的字母只能表示相同的数量，不同的量要用不同的字母表示。但是这里的 b 能让别人看到是 4、8、12、16 这样的数吗？青蛙的数量是 a，腿的数量怎么表示合适？

预设：a 只青蛙 a×4 条腿

（3）a 只青蛙 a×4 条腿

预设：都认为合适。

师：这里的 ×4 哪来的？为什么不是 a×3 或 a+4？

预设 1：1 只青蛙 4 条腿，腿的条数是青蛙只数的 4 倍，所以腿的条数就是青蛙的只数 ×4。

预设 2：a×4 表示腿的条数，还表示腿的条数是青蛙只数的 4 倍的关系。

师：字母表示数，在同一情境中，两个不确定的量有关系时，可以用字母表示其中的一个量，含有字母的式子表示另一个量。

师：这样一首说也说不完的儿歌用 a 只青蛙 a×4 条腿概括出来了，可见字母表示数具有概括性。（板书：概括性）这就是数学的魅力。

师指着黑板说：青蛙的数量一直在变，腿的条数也随着青蛙只数的变化而变化，有没有不变的，什么不变呢？

预设：青蛙的只数不管怎么变，腿的条数总是青蛙只数的 4 倍，这种关系一直不变。

【设计意图】课程标准（2011 版）指出：建立符号意识，发展形象思维与抽象思维，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果，体会一些数学的基本思想（函数思想），这个环节要给学生充分的时间和空间，让他们通过多种方法的比对，引发认知的冲突，通过生生之间的深度对话、辨析，使学生充分经历知识的发生、形成、发展和应用的全过程，学生自己归纳、概括、加深了对字母表示数的意义和方法的理解，最终达成共识，进一步感受到字母不仅能够表示数，还能表示数量关系。借助符号建立数学模型，初步感受用字母表示数的必要性和优越性，发现字母表示数能化繁为简，在体验探究乐趣的同时，培养了学生观察、比较以及抽象概括的能力。学生在感悟 “变与不变” 的过程中中渗透函数思想。

三、抽象概括， 运用中渗透符号意识

师：相信大家通过刚才的探究，已经知道了字母表示数的奥秘，我们一起来继续说这首完整的儿歌。（补充板书）1 只青蛙 1 张嘴，2 只眼睛 4 条腿；2 只青蛙 2 张嘴，4 只眼睛 8 条腿……

师：能说完吗？怎么办？

学生跟着板书说儿歌并独立表示儿歌写在本上。

全班汇报：

预设：(1) 用 a 表示青蛙的只数，a 只青蛙 a 张嘴，a×2 只眼晴 a×4 条腿。

(2) 用 m 表示青蛙的只数，m 只青蛙 m 张嘴，m×2 只眼睛 m×4 条腿。

(3) 用 x 表示青蛙的只数，x 只青蛙 x 张嘴，x×2 只眼晴 x×4 条腿。

师：说说你这样写的理由。

预设：青蛙的只数用 a 表示，嘴的张数和青蛙的只数是相同的，所以嘴的张数是 a×1，眼睛数是青蛙只数的 2 倍，所以眼睛只数是 a×2。

师：大家在表示之前想到了嘴的张数和青蛙只数的关系，眼睛只数和青蛙只数的关系，看来找数量关系对于字母表示数很重要，a 只青蛙 a 张嘴，a×2 只眼晴 a×4 条腿，只要知道了 a 是几，都能得出青蛙的嘴、眼睛、腿的数量。

师：青蛙的只数、嘴的张数、眼睛只数、腿的条数一直在变，什么始终没变？

预设：嘴的张数和青蛙只数是相同的关系不变、眼睛只数和青蛙只数的 2 倍关系不变、腿的条数和青蛙只数的 4 倍关系不变。

师：每一个数量都在变，但数量之间的关系却不变。数学就是研究千变万化中不变的关系。

师：这里的 a 可以代表什么数呢？

预设：所有数。

师：0.5 可以吗？二分之一可以吗

生：不能，从 1 开始的任何自然数。

师：看来字母表示数的范围要具体情境具体分析。

【设计意图】儿歌从简单到复杂，概括完整的儿歌，引领学生的思维再次主动飞跃，学生在遇到更复杂的问题时，会使用符号进行一般性的表达、运算和推理，让学生再次体会字母表示数的概括性和必要性，感受用字母、用含有字母的式子表示数量时，找数量关系是最关键的，发展学生的符号意识，逐步发展函数思想。

四、联系生活， 建模中明确符号价值

大家刚才不仅能够用自己的方法表示出青蛙的儿歌，还知道用字母不仅可以表示数，还能表示出数量间的关系，你们真善于思考。, 说一说生活中什么时候还用到字母表示数呢？

学生举例。预设：购物、称重等倍数关系的例子

师：刚才的例子两个数量之间是关系也是倍数关系，大家可以举一个加减关系的例子吗？

预设 1：年龄…

预设 2：沉默

师随便问一学生；你今年几岁？

预设：10 岁。

师：老师今年 30 岁。明年你几岁？老师呢？后年呢？

预设：依次说出每隔一年的俩人的年龄。

师；有没有好的办法把你和老师每一年的年龄都表示出来？

预设：我的年龄用 a 表示，老师的年龄是 a+20。

师：你是怎么写出来的。

预设：老师的年龄比我大 20 岁，所以用 a+20。

师：老师的年龄用 b 表示，你的年龄怎么表示？

预设：b-20。

师：刚才在描述你和老师每年的年龄时，什么发生了变化？什么没变呢？

预设：我的年龄一直在变，老师的年龄随着我年龄的变化一直在变，但年龄的差没变。

师：这里的 a 可以表示多少？可以表示 200 吗？

预设：不能，世界上目前最长寿的人是 134 岁。

师：字母表示数时的取值是有一定范围的，要结合具体的情况具体分析。

【设计意图】从学生喜欢的、已知的、熟悉的生活入手，缩短了数学与生活经验的距离，渗透符号思想。之前的问题串让学生体会感受含有字母的式子可以表示两个有倍数关系的数量及其数量关系，这个环节让学生感受字母表示数可以表示有加减关系的两个数量及其数量关系，把握问题的本质，从个别到一般，字母表示数可以表示有任意关系的数量及其数量关系，在老师引导下，学生再次在变与不变中体会函数思想，建构符号意义，形成符号表象，建立认知结构。

课件出示一个盒子，里面放着一些糖果，老师不知道有多少，猜猜第一个盒子里糖果的数量是多少？出示第二个盒子，第二个盒子里糖果的数量也不知道，怎么表示？如果要让第二个盒子里的数量和第一个盒子产生关系，第二个盒子糖果的数量怎么表示？

学生互动交流。

【设计意图】本环节通过不同层次的练习，让学生认识用字母表示数在现实生活中的应用及其优越性。渗透含有字母的式子不仅可以表示一个数，还可以表示数量间的关系，突出了用字母表示数的特征，加深学生对字母表示数的理解，有助于学生的思维得到不断的发展。针对难点，在拓展练习中让学生表示不知道的对象时用字母，不同的对象用不同的字母，两个对象有关系时用含有字母的式子，让学生自己定数量关系并表示第二个数量，更具有开放性，抓住了函数思想的本质并发展了学生符号意识。师：大家这节课有什么收获？

学生汇报。

师小结：用字母表示数，我们有时候真的可以做到以不变应万变。

【设计意图】符号意识是学生长期在数学学习过程中，通过体验和感悟养成的，课的最后不只进行简单的全课总结，更重要的是引导学生结合新知，建立具有良好结构的数学知识链，促进学生对用字母表示数的本质的理解，也为后续方程的学习积累有效的思维方法。

板书设计：

【教学设计点评】

本节课的教学设计注重让学生经历由数的运算到字母运算的过程，这个过程也是学生符号意识形成的过程。

1. 深入解读教材，厘清知识的主线

①. 该课在读懂教材的基础上，把教材静止的、文本的东西，灵活的进行再加工，较好地使用了教材。从青蛙儿歌中能算出一个确定的数，到计算容易算错，越来越不好算，怎么也算不完、数不完，让学生感悟到字母表示数产生的必要性。   

②. 学生对字母表示数的理解不是一蹴而就的，在充分交流三种不同的表示方法，渗透了不确定的数可以用字母来表示；在同一情境中，相同的字母只能表示相同的数量，不同的量要用不同的字母表示；在同一情境中，当两个数量有关系时，可以用含有字母的式子表示另一个量。暗示了学习字母表示数的本质。

③. 符号意识是学生长期在数学学习过程中，通过体验和感悟养成的，通过学生列举的事例感受字母表示的作用，教师更是借助放糖果的两个盒子的游戏扩展了字母表示数的内涵，促进学生对用字母表示数的本质的理解，也为后续方程的学习积累有效的思维方法。

2. 渗透数学思想，找准字母表示的关键

数学是研究数量关系和空间形式的科学，本节课从青蛙腿的条数、嘴的张数、眼睛的只数随着青蛙只数的变化而变化中，抓住了不变的关系，同样年龄问题、学生列举的事例都渗透了变与不变，牢牢抓住了字母表示的关键和本质，渗透函数思想。

3. 凸显学生的主体，在交流质疑中成长

充分调动学生的主观能动性，让学生积极参与到教学活动中来，本节课学生自主学习、合作探究、交流质疑，能从同学的发言中获得启发，进而不断完善自己的思路。

总之，该教学设计从引发对符号概括的需求，到用字母表示的逐步抽象，以及生活中的扩展，学生由算术思维到开始使用符号表示，已经能够感悟使用符号的意义，说明学生的符号意识已经开始建立。

【我对符号意识的理解】

古代数学大多用自然语言来书写，后来渐渐地使用字母、图形和公式。这是因为数学符号不会像自然语言那样带有明显的歧义，它是提升数学确定性的重要手段，为科学思维从普遍性、深刻性的角度把握数学对象的本质提供保障。在义务教育阶段，儿童的思维逐渐开始由形象思维向抽象思维转变，学生的这一思维转换的过程恰恰是数学符号形成与发展的一个缩影，这个阶段所接触的数学符号及其意义，成为理解数学本质的标志，以及以后学习数学和其他知识的重要基础，是学生能够更好地进行数学学习的前提保障，只有掌握最基础、最简单的数学符号，才能更好地进行数学运算与推理、思考与表达。由于教育理念从以知识为本到以人为本的转变，发展学生的符号意识已成为中小学数学课程的目标，是我国义务教育阶段的一种数学核心素养，体现数学学科的逻辑性与学生的认知水平。小学阶段学生数学符号意识可以划分为四个发展水平，学生数学符号意识的发展是从简单到复杂，从低级到高级，从具象到抽象，呈现层次性发展的，随着年级的增长学生数学符号意识发展水平逐渐升高。一年级和二年级的特征是数学符号意识具有可感性与具体化，称之为经验观察水平，三年级和四年级的特征是数学符号意识具有深刻性与特殊化，称之为本质内化水平，五年级、六年级的特征是数学符号意识具有逻辑性与形式化，称之为理性辩证水平。

2022 版课程标准中提到：符号意识主要是指能够感悟符号的数学功能。知道符号表达的现实意义；能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律；知道用符号表达的运算规律和推理结论具有一般性；初步体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。符号意识是形成抽象能力和推理能力的经验基础。

符号意识从心理学的视角分析侧重于意识，我们在课堂上要从核心素养提升、发展数学思维等方面研究发展学生符号意识，结合情境、问题驱动、亲身体验、小组交流等活动让学生真正进行数学思考，课堂上要将学生主动的、能动的、创造性的过程与符号意识培养的心理过程、认知过程衔接起来。

【思考在延伸】

1. 学生对字母的理解水平相差太多时如何进行课堂设计？

2. 算术思维转向代数思维过渡对于学生来说非常难，如何继续推进学生代数思维的生长？

【教材图片】