等量关系

执教教师：钱燕飞 四川省成都市龙泉驿区第一小学校

答辩成员：曾文健 四川省成都市龙泉驿区第一小学校

李云惠 四川省成都市龙泉驿区第一小学校

杨伟廷 四川省成都市龙泉驿区第一小学校

指导教师：郑大明 四川省成都市龙泉驿区教育科学研究院

黄 伟 四川省成都市龙泉驿区教育科学研究院

【答辩团队风采展示】

【教学内容】

新世纪小学数学（北师大版）五年级下册 64～65 页

【教材分析】

《等量关系》一课是北师大版小学数学四年级下册第五单元《认识方程》第二课时内容。本单元是学生第一次认识方程，也是学生由算术思维迈向代数思维的新起点，无论是用字母表示数还是寻找数量之间的等量关系对于小学生来说都很抽象。本课是在学习了加减、乘除等运算，用字母表示运算律以及用字母表示数等内容的基础上展开的学习。等量关系是后期运用方程解决数学问题的关键。在描述等量关系时需要经历从直观到抽象的过程，用符号表达等量关系体现了数学语言的简洁性，能很好的帮助学生理解、刻画数量关系。

【学生分析】

在学习本课之前，学生已经在教材中接触过与等量关系相关的数学问题。例如：一年级比轻重、运算模型、运算定律等，从第一学段到第二学段的学习，等量关系相关知识由浅入深，学生的体验与抽象过程经历了物物相等，物量相等，量量相等的不同阶段。学生已经初步具备了分析交流、探究合作等学习方法，具有一定的抽象概括能力。

本课的学习就是在原有认知的基础上对等量关系进行数学抽象与符号化，将前后知识链接沟通，通过天平模型建立等量关系，形成知识结构。本课的学习有助于培养和发展学生的符号意识。

通过试讲，发现学生能借助天平模型较好的理解等量关系的意义。但如果脱离天平模型，学生就不能准确把握量与量之间的关系。学生理解的难点主要集中在不能准确运用等量关系式表达数量关系，对情境中多个数量之间的关系（如：姚明、笑笑和妹妹的身高关系）理解和表达有一定困难。

【学习目标】

1. 在真实情境体验中，通过观察、分析、描述等数学活动，认识平衡现象，理解、分析等量关系。

2. 能借助线段图、天平模型等理解等量关系，利用文字、图形、字母等符号多元表达等量关系，知道同一等量关系可以有不同的方式进行表达。

3. 通过等量关系的描述与表达，发现等量关系在日常生活中的广泛运用，体会数学的应用价值。

【教学过程】

一、情境引入，明确等量

（一）链接生活，唤醒数学经验

师：同学们玩过跷跷板吗？

预设生：玩过！

师：看，鹅、鸭子和鸡也在玩跷跷板。

【设计意图】借助跷跷板的游戏情境，唤醒对数量间轻重关系的已有经验，为 “等量关系” 的理解做好铺垫。

（二） 初步体验，感知等量关系

1. 语言符号描述关系

师：大家能说说跷跷板上动物的重量关系吗？

预设生 1：1 只鹅的质量比 2 只鸭的质量重。

预设生 2：1 只鹅的质量比 3 只鸭的质量轻。

预设生 3：1 只鹅的质量等于 2 只鸭和 1 只鸡合起来的质量。

【设计意图】结合跷跷板比轻重的情境，引导学生运用语言符号描述情境中的数量之间 “相等” 与 “不相等” 的关系，初步体会 “等量关系” 的特征。

2. 数学符号简化关系

师：如果用数学符号来表示这 3 个跷跷板现在的状态，你会用什么符号？

预设生：第一个用 “＞”，第二个用 “＜”，第三个用 “＝”。

师：这两个跷跷板左右两边的重量不相等，这个跷跷板左右两边的重量相等，今天我们就来研究这种跷跷板两边相等的情况。

【设计意图】学生运用数学符号 “>”“<”“=” 再次描述情境中的数量之间 “相等” 与 “不相等” 的关系，在体会 “等量关系” 特征的同时感受不同的符号可以表达相同的意思，数学符号更加简洁。

3. 归纳表达揭示关系

师：同学们再来看看这个跷跷板，你能具体说说是什么相等了吗？

预设生：是 1 只鹅的质量与两只鸭和 1 只鸡的质量相等了。

师：是两边的质量相等了。1 只鹅的质量就等于 2 只鸭的质量加 1 只鸡的质量。这时我们就把左边的质量和右边的质量称为相等的量，简称等量。像这个跷跷板一样，两边的数量关系达到一个相等的状态，我们此时把这两部分的关系称为等量关系。（贴板书：等量关系）

【设计意图】通过概念的不完全归纳法，让学生经历从直观到抽象的过程，初步建立等量、等量关系的概念。

二、抽象概括，形成符号

师：用这句话就表示出了此时天平上表示的等量关系（贴板书：图和这句话：1 只鹅的质量等于 2 只鸭加 1 只鸡的质量），你还能用其他的方式表示出这时天平所表达的等量关系吗？在题单上找到第一题，试着写一写。

（学生独立尝试用其他方式表示这时天平表示的等量关系，拍照提交到平台，再在全班开展交流）

（通过试讲一般会出现：1. 仍然用文字表示的；2. 夹杂文字、运算符的；3. 标准的）

师：让我们一起来看看同学们是怎样表示的。（智慧教育平台浏览学生作业），根据你们提交的情况，老师将你们的作品进行了整理归类，大概出现了以下几种情况。

师：这几位同学表示出天平上的等量关系了吗？你更同意谁的？为什么？

预设生 1：都表示出了天平上的等量关系，但我认为 4 号更的清楚、明了。

预设生 2: 我也同意他说的，1 号没说清楚是什么与什么相等了，2 号用上了字母，但是如果不解释就不知道各个字母究竟表示什么意思。

师：的确，4 号用上了数学运算符，把表示倍数关系、相加关系的语言用运算符清楚、明了的表示出来了，再加上必要的文字、数等符号，我们把这样的表达数量间的相等关系的式子叫做等量关系式。（边说边贴板书：运算符、文字、数字）

师：看看这个等量关系式，你能说说它和刚刚的这句话有什么区别与联系？

生 1：相同点是都表示天平此时的数量关系是相等的。

生 2：不同点是用了运算符、文字、数。

师：对，特别是运算符的使用，让数量关系更加清晰、明了。

【设计意图】此环节，学生由个体自学（表达情境中的等量关系）—— 组内互学（提炼符号表达情境中的等量关系）—— 组间群学（多元理解情境中的等量关系）—— 师生共学（逐步抽象概括形成符号）的 “四学” 过程，将等量关系的表达从模糊到清晰、从不规范到规范，为学生提供丰富的学习体验，从直观到抽象运用简洁的符号表达等量关系。

三、对比迁移， 应用符号

师：你能在下面 4 幅图中找到等量关系吗？如果有，请用等量关系式表示出来。没有的不写。（2 分钟，拍照提交）

预设生 1：第 2 个有等量关系，我是这样表示的 “100 克和 1 个樱桃的重量 = 1 个苹果的重量”。

预设生 2：刚刚我们知道了，等量关系式要用上运算符来表示，我是这样的：“100 克 + 樱桃 = 苹果”。

师：大家都只写了这一个等量关系式，其他三个呢？

预设生：没有。

师：为什么？

预设生：天平左右两边的质量不相等，不存在等量关系。

师：哦，看来你们对等量关系已经有了比较深刻的认识，那谁来为大家介绍一下你写的等量关系式。

预设生：我写的是 “一个苹果 = 100g + 一个樱桃”

师：对他的讲解你们有什么质疑或者想交流补充的？

预设生 1：是什么跟什么相等了？要写清楚，是两边的质量相等。

预设生 2：我觉得这样写更好：100g+1 个樱桃的质量 = 1 个苹果的质量

预设生 3：我也同意，虽然两边的质量相等了，但是这样写就跟天平表示的状态对应起来了。

师：我很赞同大家说的，这个是最清楚完整的。我们再一起来回顾一下，刚刚我们是怎么样把天平上的等量关系表示成等量关系式的呢？

预设生 1：只要把平衡的天平左右两边的物体分别记录在等号的两边就行了。

预设生 2：还要看他们是什么样的关系，就用什么数学运算符号来表示。

预设生 3：还要注意写清楚、写完整。

师：大家看，等量关系式与天平有什么联系啊？

生：等量关系式就相当于一个 “天平” 啊，它跟这个天平一样，可以表示等量关系。

师：对，等量关系式就相当于 “数学上的天平”。

师：大家看这个天平，它此时的状态用 “数学上的天平”—— 等量关系式来表示是不是也可以这么看（课件），如果我把左边的樱桃拿走，想让天平继续保持平衡，该怎么办？

预设生 1：在左边再放一个和樱桃质量相等的其他水果。

预设生 2：也可以从苹果里去掉和樱桃同样重的重量。

师：为什么？

预设生：这样才能让天平左右两边的量相等，天平才能保持平衡。

师：这样它们才有等量关系。

【设计意图】以学科本质问题 “怎么样把天平上相等关系的两部分表示成等量关系式？” 引发学生思考，概括运用等量关系式表达情境中等量关系的策略；以 “拿走的量” 这个情境模拟，加深对 “等量关系” 理解。整个过程渗透了学生符号运用能力的培养，有助于建立 “等量关系” 模型。

四、运用符号，表达关系

师：现在大家已经对等量关系有了一定的认识，并能用等量关系式来表示天平中等量关系。老师就来考考你，下面的 3 条信息中有等量关系吗？如果有，请你用等量关系式表示出来。（出示教材第 2 个绿点）

（有人说有，有人说没有）

师：如果觉得有困难，可以请 “数学的天平”—— 等量关系式来帮助我们找找，看这些信息中有没有等量关系。

（学生独立完成第 3 题）

预设生：

妹妹身高 + 20 厘米 = 笑笑身高

笑笑身高 - 20 厘米 = 妹妹身高

妹妹身高 ×2 = 姚明身高

姚明身高 ÷2 = 妹妹身高

笑笑身高 - 20 厘米 = 姚明身高 ÷2

师：在小组内依次交流，有争议的可以讨论，每个小组提交一份。

师：我们先来浏览一下各组写出的等量关系式（翻看 12 个小组的成果），哪个小组来为大家介绍你们找到的等量关系。

小组介绍

师：大家对他们的讲解有什么疑问或补充？

预设生：描述不完整补充完整、没说清楚等量是谁等。

师：那我有几个问题想问。这个等量关系式中什么和什么相等了？

预设生：第一个是笑笑的身高，第二个是妹妹的身高。

师：这两个等量关系式表达的是谁和谁的身高关系？

预设生：笑笑和妹妹的。

师：信息中没有关于姚明和笑笑数量关系的，为什么这个等量关系式中提到了姚明和笑笑？

预设生：虽然没有直接的关系，但是他们与妹妹都有关系，姚明身高 ÷2、笑笑身高 - 20 厘米可以表示妹妹身高。

师：有道理。同学们，通过刚才的讨论你有什么发现？可以在小组内交流。

预设生：同一个信息可以用不同的等量关系式来表达。比如这里讲的是笑笑和妹妹的身高关系，但是可以用这两个等量关系式来表达。

师：那这两个等量关系式一样？

生：不一样

师：怎么就不一样了？

生：我画个图给你看（引导得出线段图表示等量关系）

师：哦，同样都是笑笑和妹妹的数量关系，却可以用不同的等量关系式、不同的线段图来表达他们之间存在的等量关系。

生：我还发现只要确定了以谁为等量，就可以根据信息中的数量关系写出不同的等量关系式，比如这里是以笑笑的身高为等量，这里是以姚明的身高为等量。

师：说得太好了。其实只要确定了以谁为等量，同一个数量关系就可以写出不同的等量关系式。我把你们写的等量关系式挑选出来贴上板书上，我还画出了这样的线段图，你能找到等量关系？

生说

师：如果让你对这些等量关系式进行分类，你怎么分？

等量为笑笑的一类，等量为姚明的一类。（老师拖动板书归类）

师：我们用图、文字语言、线段图、等量关系式都可以表达信息中的等量关系，同学们刚刚的讨论让我们对等量关系式又有了更深刻的认识对吧？你们看等量关系式和天平有什么相同点和不同点？

预设生 1：等量关系式跟天平平衡时的状态一样。

预设生 2：等量关系式也可以用来放东西。

预设生 3：不过天平只能秤重量，等量关系可以秤其他的量，比如长度。

小结：其实等量关系式就是 “数学的天平”，它除了可以放质量、还可以放长度、数、价格等等（课件一一出示，多元展示）。放的东西不同，但两边东西的量一定是相同的。

师：正式因为等量关系式运用了运算符号、必要的文字、数量等才能将信息宗的数量关系清楚明了的表示出来。

【设计意图】符号化的过程需要从实际生活经验去表征和刻画，对于多个量之间的数量关系，学生会有不同的符号表达，但在表达两个量之间的数量关系时，应以 “谁为等量” 建立关系对学生来说有较大难度。因此，在本环节的学习中，利用身高对比的课件演示，帮助学生准确把握三个人之间的身高关系。利用 “四学” 活动，将个体不同的符号表达得以丰富，拓展等量关系的理解，将多个等量关系以 “不同的等量” 为标准进行分类整理。对比天平模型，延伸等量关系的意义，实现 “去天平化”。

五、联系生活，拓展符号

1. 对比教材，沟通联系

将 1、2、3、4 年级教材中相关内容逐以体现知识呈现和表达的有序变化：物物相等 —— 物量相等 —— 量量相等  

师：这是一年级上册我们学过的《比较》一单元的内容，其实以前我们就已经接触过等量关系了。这里，我们利用天平比轻重，这是我们刚刚学习的内容，我们利用天平找关系，借助这些符号符号清楚、明了表达出天平表示的等量关系。

【设计意图】对比沟通，帮助学生建立完整知识结构，体会符号的发展变化过程，培养符号意识。

2. 借助情境，多元表达

师：你能借助刚刚学到的知识解决下面的问题吗？用等量关系式表达图中的等量关

系。

学生独立完成后展示订正。

【设计意图】结合现实情境培养学生运用符号解决问题的能力。

3. 去天平模型，拓展等量关系

（1）常用公式

（2）常见数量关系

（3）运算定律

师：其实之前我们就已经接触过数量关系了，这些都是 —— 数学公式，这些都是 —— 运算律，这些是 —— 常见的数量关系，你能运用等量关系的思想来解释这些已经学过的知识吗？挑选一个试一试。

预设生：......

师：那这个你能解释吗？刚才的都行，现在怎么就不行了？

生：那些字母用在等量关系中我们都知道，以前书上就说了。

师：哦，早就指定了这些字母表示什么意思，现在你知道了吗？

生：表示 1 只鹅的质量 = 2 只鸭的质量＋1 只鸡的质量

师：我们指定了□代表鹅...... 如果我再告诉你这些信息，这个等量关系式可以表示为？你能求出☆？这其实就是 —— 方程

生：对，用数学的语言、数学的符号来看世界你将获得不一样的精彩，下节课我们再继续探寻方程与等量关系之间的秘密。

【设计意图】去天平模型，拓展对等量关系意义理解，感受数学、数学符号的美。

板书设计：

【教学设计点评】

四川成都龙泉基地（一）研究的《等量关系》一课，聚焦学科本质、精心设计学习任务和环节、围绕核心问题组织 “四学” 活动。符号意识培养贯穿课堂始终，课堂结构完整、节奏分明，从学生生活实际经验出发，逐步构建数学抽象与表达，帮助学生系统建构知识。课堂教学设计主要体现了以下亮点：

1. 主题设计鲜明

本节课的教学设计紧紧围绕符号意识，环环紧扣主题彰显教学价值。从 “情境引入，明确等量”“抽象概括，形成符号”“对比迁移，应用符号”“运用符号，表达关系”“联系生活，拓展符号”5 个教学环节的设计与实施，将符号化的过程清楚地展现并聚焦符号对数量关系刻画的价值，步步发展最终形成用规范的等量关系式表达数量之间的关系。

课堂教学设计中，通过核心问题 “什么是等量、什么是等量关系” 明确课堂学习的主线，通过符号化的过程让关系表达与表征丰富多样。

2. 学生探究多元

在表达数量之间的等量关系时，教师利用四学组织充分展现了学生学习的主体作用，以 “学习者为中心” 积极开展个性化的学习与表达。利用组内和组间合作学习，实现数学等量关系的优化表征，让学生的学习经历从不规范到规范，不清楚到清楚，逐渐明确等量关系的符号化过程需要精准、多元的数学语言进行表达。例如：运算符号、文字符号等数学方式。

学生活动任务设计上，课堂由浅入深，结合学生实际从跷跷板游戏到天平称物模型，再到去天平模型，学生在不同层次的学习任务活动中抽象出等量、等量关系、等量关系式，以及以什么等量为标准写出不同的等量关系式等知识。

3. 知识沟通到位

在教学设计的最后环节，教师利用符号表征的多样性，沟通不同时段等量关系的表达特征，促进学生对已有知识进行对比沟通。明确在表达数量之间的关系的时候可以有不同的方法。如：公式、规律、性质等，等量关系式是表达等量关系的一种方式，是后续列方程解决应用题的基础，从而渗透代数思想。

课堂设计建议：

纵观整个课堂教学设计，学生的思考和表达活动是比较充分的，但学生的体验、发现和探究活动比较欠缺。在学生学习素材的设计与活动上可以适当增加此类环节和任务，调动学生对等量关系的深入理解，以此弥补以教材学习内容的单一性和与生活联系不够紧密的问题。

【我对符号意识的理解】

关于 “符号意识” 我们是这样理解的：

1. 符号是人类进行信息交流和传播的载体，它是社会交流中人类思维的基本法则、构思和运用过程中非常重要的要素。小学数学中的符号化思想主要指人们习惯有意识的运用特定的符号去表述研究的对象。合适的符号可以清晰准确简化的表达数学思想、概念、方法和逻辑关系，避免日常语言的反复冗长或模糊不清。

2. 最新版小学数学课程标准倡导把符号化思想改为符号意识，其目的就是主张符号表达的现实意义，通过符号意识的培养，形成对数量关系、一般规律性知识进行抽象与逻辑推理的经验。

3. 符号意识的培养有助于学生学会数学化的思考与表达，能促进学生抽象与逻辑推理思维能力的提高，帮助学生建立代数思想的模型。符号意识形成充分展现了数学的简洁，儿童视野下的符号意识需要从直观到抽象逐步体验与探究的过程。

4. 在课堂教学中，站在儿童的视野下设计学习活动，帮助儿童有效理解符号化抽象的阶段和过程，需要情境的设置、符号的体验、交流与表达、内化与关联，有效形成儿童知识结构化的系列探究。

我们借《等量关系》这个内容来探究儿童视野下的符号意识发展，其主要目的就是想通过 “四学” 活动以及符号化抽象的过程，实践探究培养学生符号意识的策略。

【思考在延伸】

1. 2022 版新课程标准指出：符号意识主要是指能够感悟符号的数学功能，知道符号表达的现实意义。因此，我们认为在用符号表达数量关系的时候，应该更加密切联系学生的生活，开发适合学生的情境，组织学习活动。

2. 符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。在教学中，应注重挖掘教材中的培养学生符号意识的素材，通过教材前后内容的对比沟通，让符号意识的培养系统化。

【教材图片】