问题引领 多元表征

——《运算律－－乘法分配律》符号意识的学习路径设计

（一）教材分析

北师大版《乘法分配律》一课的内容安排在四年级上册第四单元《运算律》中的第 6 课《乘法分配律》，分为两个课时进行教学，第一课时是对规律的探索与验证，第二课时是乘法分配律的简算教学，本文介绍的是第一课时。教材包含三个部分：情境创设、概念呈现以及解释规律。第一部分：情境创设，出示了装修师傅贴厨房瓷砖的情境图，已经铺好的瓷砖可以分为两种角度观察。这部分包括两个问题：1. 贴了多少块瓷砖？说说你是怎么算的？呈现了四个不同的综合算式，分成两组算式。2. 观察上面两组算式，你有什么发现？第二部分：概念呈现，提出问题：用 a、b、c 代表三个数，你能写出上面发现的规律吗？出示了乘法分配律的数字和字母表示。第三部分：解释规律，要求学生结合 4×9+6×9 这个算式说明乘法分配律是成立的。出示了点子图与乘法的意义两种方法解释乘法分配律的意义。

“乘法分配律” 的教学是在学生经历了 “乘法交换律” 和 “乘法结合律” 探索过程的基础上进行的。教材把乘法和加法的运算定律作为学生探究活动的题材，编排在 “乘法” 单元的 “探索与发现” 一节中，旨在通过从情境中发现问题，并促使学生进一步探索数学规律，在经历过程中体验探索数学规律的基本步骤和有效方法。本节课打算以不同的方法解决实际问题为杠杆，以不同方法的内在联系为支撑，达成外在形式和内在本质之间的和谐统一，达到启迪数学思想方法的目的。。

（一）学情分析

加法和乘法的交换律、结合律以及乘法分配律，与四则运算联系紧密，这些基本运算律既是算理，也是运算的本质。在本单元之前，教科书在运算中多次渗透了运算律和简便计算的一些方法，学生早已积累了初步的学习活动经验，并且在学习乘法分配律之前，学生已经学习掌握了乘法交换律、结合律，并能初步应用这些定律进行一些简便计算的基础上进行学习的。学生具有较好的观察，发现，验证和归纳推理的学习探究能力，但是直接抽象出乘法分配律的结构模型，没有直观形象的支撑，对乘法分配律意义的理解还是存在困难的。所以本教学设计借助长方形面积图和乘法的意义来帮助学生理解这一运算定律。

【 学习目标】

1. 通过 “铺瓷砖” 情境，经历探索、发现乘法分配律的过程，尝试用文字、图形表述乘法分配律，会用字母表示乘法分配律，培养分析、推理、抽象、概括等思维能力。。

2. 会用运用乘法分配律进行简便计算，体会计算方法的多样性。结合学生的已有经验，借助生活例子、乘法意义与图形直观建立规律模型，理解乘法分配律的意义。

3. 通过观察、对比、分析、猜想、验证等活动，积累提出问题、发现问题、解决问题的经验。同时，培养学生发现问题和提出问题的能力，积累合情推理的数学活动经验。

【学习重难点】

重点：经历乘法分配律的探索过程，体会计算方法的多样性，会用字母表示发现的规律。

难点：通过探索、观察，发现乘法分配律的特点，归纳乘法分配律并理解其意义，拓展规律。

【学习关键】 观察、比较具体问题不同解法的算式特点，从而自主发现、归纳总结规律。

【学习流程】

图 1 学习流程图

【 学习理念】

2011 版《数学课程标准》指出：“课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。” 为贯彻这一理念，从学生已有的知识和经验出发，引导他们用不同的方法解决实际问题，并从不同结构的算式的实际意义着手，由内及外，实现乘法分配律由内在本质到外在形式的有机融合，让学生的探索过程更丰富，对规律的理解更饱满。同时，在探索和发现的过程中，通过观察、分类、比较、归纳等活动，丰富学生的类比、归纳等数学思想

【 学习过程】

一、 比赛导入，激发兴趣

1. 出示题目，分组进行计算竞赛： 3×12+7×12 （3+7）×12

师：对于这次竞赛，你有什么意见吗？

预设学生回答：第一道算式是先算乘法，再算加法；第二道算式是先算括号里面的加法，再算乘法。而第二道算式中先算 3+7=10，再算 10×12 非常简便，这样就应该比第一道算式算得快一些。

师：比赛只是形式，发现才是最重要的！通过计算，你有什么发现？

预设学生回答：两个算式虽然运算顺序不一样，但是计算的结果是相同的。

师：其实在这两个算式里蕴含着一个新的乘法运算定律，这节课我们《探索与发现（三）—— 乘法分配律》

【设计意图】：托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。” 本环节的设计，通过比赛暗示规律，唤起学生强烈的求知欲望，对规律的探索做好坚实的铺垫，让探究之旅依 “兴” 而生，随 “趣” 而行。

二、对比等式，归纳发现

1. 数瓷砖

师问：1. 淘气家最近买了个新房子，其它地方都装修好了，就差厨房了。

2. 你们看，工人叔叔在干嘛？（贴瓷砖）

3. 咦？观察这幅图，你看到了什么数学信息？

4. 到底贴了多少块瓷砖呢？你想怎么数？今天我们就一起来研究这个问题。

5. 想一想，在学习单上算一算，用尽可能多的方法来解决这个问题，算好后与你的同桌说说你的想法。

横着看（观察）。。。。。。

竖着看（观察）。。。。。。

8 个 10 3×10＋5×10 （3＋5）×10

8×10

8 个 10 3×10＋5×10 （3＋5）×10

结果相同，意义不同

6. 你能不能在图上指一指，结合图来说一说。

横着看：几行

竖着看：几列

7. 我们按照你说的方法，将它单独贴出来吧！

引导：分别表示几个几？（学生找出板贴，对应讲解）

小结：同学们用各种各样的方法算出了瓷砖有多少块，有的是分开算的（分左右、上下两种），有的是合并算的。（贴）

8. 发现联系：请你仔细观察这几组算式，你有什么发现吗？什么发现？

都是表示了几个几（10 个 8 或 8 个 10）

都算出了瓷砖有多少块。

【设计意图】：让学生在具体的情境中获取信息，并能根据所要解决的问题自主选取相关数学信息，既是对创设情境有效性的体验，也是学生创新能力培养的有效途径。这样的设计，使得教学更自然，活动更朴实，课堂更和谐。

2、贴瓷砖

师引导：我们来把剩余的墙面也贴完，老师这里有几种不同规格的瓷砖，请你选取其中两种贴一贴，并算一算用了多少块瓷砖。那有什么特殊的要求吗？我们要按照工人叔叔的标准来贴，瓷砖贴好后，要让它既能分开算，又能合并算。

谁想试一试？请一个同学上来拼给大家看一下。

3×6 4×3 4×5 5×7

演示：

A. 学生选两种贴一贴。选这两种瓷砖来贴，分开算怎么算？合并算又怎么算呢？

你会算吗？请个同学来说一说。

我们将这位同学贴的方法在方格纸上表示出来，比如左边这个我们这样画，右边这个这样画（不涂色）。还有其他贴瓷砖的办法吗？让它既能分开算，又能合并算。

B. 随意选取其中两种瓷砖贴到一起，都能实现既分开算，又合并算吗？

不是的，有些不行，看来要既能分开算又能合并算是需要有一些技巧的，你能不能找到其中的诀窍呢？

C. 仔细观察这几组算式，每一组的分开算和合并算，你有没有发现他们左右两边有什么很特别、有意思的联系呢？

（左右都有一个共同的数字，学生来圈）

D. 为什么有这个共同的数字就能合并算呢？你能不能在图中找到它？

（数形结合解释）

共同的数：同一行 / 列的瓷砖块数是一样的。 所以可以合并起来。

所以这个数字就是它们之间的联系，是它们的共同点。

预设：①（6＋4）×3＝6×3＋4×3

②（4＋7）×5＝5×4＋5×7

……

引导类比。

师：我发现各小组都把自己的两种算式和我写的算式对齐了，很想知道大家为什么这样做？

正是因为它们之间有着这样的联系，它们才能既能…… 又能……

E. 师问：我们把这些算式放到一起，如果用字母来表示我们刚刚发现的规律，该怎么表示呢？试着在学习单下面空白地方写一写。

【设计意图】：本环节的设计，通过一个可以呈现乘法分配律的生活实例，唤醒学生已有的认知经验从不同的角度思考并解决问题；让学生动手操作，体验知识产生的全过程。同时，教师并没有直奔乘法分配律这一主题，而是让学生比较两种思路的不同，并从中初次触摸规律，为规律的发现提供了有力支撑。学生通过自己动手贴砖，把一个实例引向了多个实例，渗透从特殊到一般的数学思想；学生自主分类书写算式，将关注点从解决问题的不同方法延伸到算式的形式特点，教师再辅以幽默诙谐的语言和形象的比喻，有效促进了学生对数学模型的初步感知。

三、观察实例，总结规律

1. 黑板上呈现，引导：分开算应该是 a×c＋b×c，合并算应该是（a＋b）×c

从分开算到合并算，运算的顺序变了，步骤变了，但是结果不变。所以可以用等号连接。像这样的规律，我们把它叫作乘法分配律。

2. 乘法分配律在我们的生活中其实有很多应用。

3. 及时练习：结合乘法分配律，在横线上填上合适的数。

4. ①（10+7）×6= ×6+ ×6

②8×（125+9）=8× +8×

③7×48+7×52=7× （ + ）

5. 马上要开运动会了，各班都要添置新的运动服，你能不能运用乘法分配律，用两种方法算一算，我们班一共需要花多少钱？分开算还是合并算简单呢？

6. 同学们，乘法分配律，其实不是第一次和我们见面，它以前就曾在数学书中悄无声息地来过，只不过那时候我们还没有正式地认识它。那它在哪里出现过呢？

比如，我们学乘法口诀的时候，用点子图来表示 6×9，我们也可以运用乘法分配律将它分开算，你会算吗？圈一圈，算一算。

7. 学习二位数乘两位数的时候，哪里体现了乘法分配律呢？

哪里是分开算？哪里是合并算？如：12×14＝ × + ×

图 5 是的意思是：2 个 14 和 10 个 14，把 12 拆开了。

【设计意图】：算式的结构只是乘法分配律外在形式，算式的意义才是其内在本质。此环节，引导学生从乘法的意义入手，把两种算式之间的相等从结果一样延伸到意义的一致，打通了算式之间的本质联系，把数学规律的探索从形的方面深入到质的层面，把数学规律的理解达成形式和内涵的有机统一。并且通过尝试举例，在大量的算式中让学生再一次感受到乘法分配律的真实存在，丰富了学生建模的过程。当学生未能穷举算式时，教师提议用含有字母的式子表示规律，引导学生从中感受到数学的力量和抽象的美感。

四、拓展思维 走向一般。

1. 观察抢答。

以下各组两个算式的得数是否相等？如果相等，你能很快地说出得数吗？

25×4+6×4=（25+6）×4 2×17+8×17=（2+8）×17

让学生说一说你是用哪个算式算出来的？为什么？

师：通过刚才的活动，你有什么启示？

预设生回答：运用乘法分配律，有时候可以使计算简便。

2. 巩固练习。你能结合 3 ×6+ 4×3＝（6+4）×3 这个等式，利用文字、画图或其它的方法，来说明乘法分配律成立的道理吗？

师小结：观察算式中数字的特点和算式的结构，是灵活运用乘法分配律解决问题的重要前提。

3. 如果这个式子可以运用乘法分配律，□里可以填几？

42×25+58×□

4. 拓展延伸：如果括号中的加数变成三个或者更多，或者加法变成减法，这个规律有没有？

【设计意图】：通过强大、巧妙的直观比较，真切体验 “恰当运用乘法分配律能够使运算简便”，从而感悟数学规律学有所值，充分体现了 “在实际中发现问题” 和 “用数学解决问题” 的和谐统一。

五、总结回顾，评价激励

数学规律是解决实际问题的重要依据，更是凝聚了人类智慧的结晶。我今天真真切切地感受到了全体同学非凡的观察力和想象力。经过这节课的探索与发现，你有哪些收获呢？

六、板书设计