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新世纪小学数学论坛 第 12029 号会员,加入于 2022-02-06 10:00:25 +08:00
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【二稿反思】

绿点一:

1. 在本节课第一环节,经过多次试讲之后我们发现,学生想出的相等的关系(①左面放两只鸡,右面放一只鸭。②左面放一只鸡和一只鸭,右面放一只鹅)尤其是第一种,并不能让学生感受到教材的情境图中所体现的右边放两只鸭轻了,放三只鸭重了,所以在第三次放的时候在两只鸭的基础上再放一只比鸭轻的鸡的这种意义,因此最后本课的情境图我们还是会回归教材中。虽然我们的教学设计经过了这一系列的修改又回到原处,但是相信我们对教材的解读和挖掘已经不在原处了,而是更深了一步。

2. 在引导学生体会等量关系的过程中,我们发现这里还是没有让学生有更深的认识,因此在这里我们将通过 “让学生说说你是怎么想出这样的关系”——“具体说说 它们之间是什么关系 ”——“找到了相等的关系,那就能顺利解决问题了吗” 这几个追问,有意识的让学生具体描述这里到底是什么相等了,以此帮助学生进一步认识等量关系。

3. 在让学生解决完情境图中的问题之后,我马上跟学生强调其实这样的关系在解决数学问题时一直都是很重要的,过后听课老师们说这一部分的设计太过牵强。因此我将会把这部分内容重新调整一下,改为让学生回顾刚才解决问题的这一过程,使学生注意到我们是如何从没关系 —— 有关系 —— 相等关系,最后又是如何通过有了这相等关系将问题顺利解决了。最后再跟学生强调关键就在于有了等量关系。以此让学生更进一步的去体会等量关系在解决问题中的价值,为后面学习方程做准备。

绿点二:

在这一环节解决问题时,我直接出示了问题,让学生找出他们的等量关系。试讲过后我发现这样给学生观察的时间太少,另外对于学习能力强的学生来说他能直接找到关系,而对于学习能力弱的孩子来说这样设计可能有一些难。因此我会将这一部分进行修改,改为先让学生说一说他们之间谁和谁有关系?有什么样的关系?以此引导学生抓住关键句子,便于寻找和确定等量关系,然后再让学生用自己喜欢的方法去表示。

练习题:

在试讲过程中,我发现部分学生能够准确找到题中的等量关系并能正确表达,而对于学困生而言虽然这些题都是之前三年级的时候做过的题,但解决起来还是有些困难。因此这一部分我也会做一些调整,把这里调整为基础题 + 变式题,使得习题更有层次性,能照顾到所有不同层次的学生。

【一稿反思】

本节课是在学生学会用字母表示数的基础上进行教学的,本节课的教学对学习方程、解方程及运用方程解决简单的问题起着承上启下的作用,在本单元具有重要的地位。

本节课的亮点:

这节课的学习过程是依据问题情景 —— 自主学习 —— 合作探究 —— 展示交流 —— 总结提升 —— 达标检测这几个环节进行的。学习活动和问题情境具有层次性,旨在引导学生在解决问题中学习知识、训练思维、体验感悟。

一稿设计经过试讲之后发现以下问题:

1. 第一环节过得太快、导致没将学生的已有经验调动起来。因此在这一部分我将会让学生仔细观察他们想出的这三种相等的关系,并通过对比这三种情况(鹅 = 2 鸭   2 鸡=鸭   鸡 + 鸭 = 鹅)以此明晰跷跷板是处于平衡状态,平衡即说明了跷跷板左右两边的动物质量是相等的。

2. 因为让学生在多种方法表示等量关系的活动中理解等量关系是本节课的重点,因此我把第一环节的练习去掉了,以此希望能将重心放在让学生更好的体会和理解等量关系上来。

《等量关系》教学设计终稿

【答辩团队风采展示】

团队 4 人照片

教材来源: 新世纪小学数学(北师大版)四年级下册 64~65 页

内容来源: 四年级下册第五单元《认识方程》

主 题: 等量关系

课 时: 8 课时,第 3 课时

授课对象: 四年级学生

【课标描述】

核心素养:符号意识

能够理解并且运用符号表示等量关系;知道使用符号可以进行运算和推理,得到的结论具有一般性。

内容标准:式与方程(P22)

结合简单的实际情境,了解等量关系,并能用字母表示。

【教材分析】

本节课的数学本质是 “数量间相等的关系”—— 在简单的情境中描述两个事物,这两个事物在数量上相等。北师大版教材为等量关系安排了独立的课时进行学习,将内容安排在 “用字母表示数” 之后和 “认识方程” 之前,这为更好地促进学生从算术思维想代数思维的发展架设了一座桥梁。

问题串一的意图:通过观察和描述跷跷板两边的平衡现象,了解等量关系。教材直观呈现了一个跷跷板由不平衡到平衡的过程,从而得到 “这只鹅的质量相当于 2 只鸭子和 1 只鸡的质量”。 跷跷板和天平具有相同的意义,但前者更贴近儿童经验,这个学生熟悉的生活情境既能充分调动学生已有的经验又能帮助学生理解什么是等量关系。 先出现跷跷板,再出现天平的编排,也让我们找到了体现等量关系的更多的生活原型。

问题串二的意图:目前培养学生的数学符号意识成为了小学数学一项重要的任务,因此本节课教材以姚明、妹妹、笑笑的身高为情境,引导学生进一步体会等量关系,并鼓励学生从具体情境中抽象出数量关系(等量关系)并用符号进行表示(此时的问题已经转化为数学问题),以此培养学生的符号意识。从数学学习心理的角度看,不同思维形式之间的转换及其表达方式是数学学习的核心,且多种形式描述和呈现数学对象可以加强对概念的了解。因此在表示它们之间数量关系的过程中,教材推荐了一些寻找和表达等量关系的方法,并鼓励学生认识到等量关系可以用语言、图形、关系式等多种方式来表征,他们之间可以相互转化。

问题串三的意图是:从更多的角度帮助学生认识等量关系。教材采用了 “你能看懂吗” 的方式呈现了其他等量关系,帮助学生认识到同一个等量关系可以用不同的形式表达,它们之间是可以互相替代的。

基于以上教材分析,本节课的重点是结合具体情境,能用多种方法表示等量关系,知道同一个等量关系可以有不同的表示形式。

【学情分析】

基于之前的学习,学生已习惯于见信息 — 提问题 — 列式计算,目标直指具体数量(即算术思维)。对等量关系的认识尚处于简单地进行文字化处理阶段,缺乏对数量间关系的理解和抽象概括的深刻体验,而这恰恰是本课的重点和难点,也是学生本课学习的生长点。

在寻找等量关系时,个别学生对于不必一定知道 “具体数量” 这点理解不深;对于未知量和已知量是可以处于同等地位参与运算,对于 “等量关系” 的本质是指左右两边的数量相等的状态这一点不够理解,使得学生不能从整体出发、全面考虑,而导致找不到更多的等量关系。

随者学生年龄的增长,仅靠具象思维认识世界已无法满足需要,发展儿童的抽象思维能力自然成为其内在成长的需求。作为抽象思维外显表征 “符号意识”,它是沟通具象思维与抽象思维之间良好的桥梁。随着学习的深入,四年级学生已初步学会用简单的数学符号表达数学理解,并能感受到数学符号简洁、方便、高效的特点。但是对于运用符号帮助其进行运算和推理还是比较困难。

基于以上学情分析,本节课的难点是能在数学问题中寻找出数量间的等量关系。

【学习目标】

1. 借助天平模型,通过观察和描述,了解等量关系

2. 通过小组合作等活动,能结合具体情境将现实问题抽象成文字、图或式子,正确使用符号表示等量关系;知道同一等量关系可以有不同的表示形式

【学习重点】

结合具体情境,能用多种方法表示等量关系,知道同一个等量关系可以有不同的表示形式。

【学习难点】

能在数学问题中寻找出数量间的等量关系。

学习过程】

一、 聚焦等量关系,直观感知符号

师:同学们今天淘气和笑笑遇到了一个问题,不知该如何解决,所以现在想请大家一起帮助一下他们,可以吗?

(出示课题:问题是这样的已知鸡的质量是 2 千克,鹅的质量是 8 千克,请问鸭的质量是多少千克吗?)

师:好了,如果你已经看明白了问题就请开始解决吧。

师:此时学生皱起了眉头,我顺势提问 “你们的困惑是什么”?

生:这个问题没有办法解决呀?因为题目中已知了鹅的质量和鸡的质量,但是题目中问的是鸭的质量是多少千克,这鹅的质量和鸡的质量与鸭没有关系呀?

师:哦因为它们之间没有关系,所以这个问题暂时无法解决是吗?(板书:没有关系)好,那老师现在就给大家提供一个关系:

师:这次问题能解决了吗?

生:不能,现在我们只能知道 2 只鸭的质量是小于 8 千克,但不能知道鸭的质量具体是多少。

师:这个关系呢?

师:哎,同学们老师想先问一问这个 “关系” 跟鸭有没有关系?能不能解决问题?

生:有关系,但是还是不能解决问题。(板书:有关系)

生:还是不能,现在我们只能知道 3 只鸭的质量是大于 8 千克。

师:(结合手势)同学们,老师提供的这样的关系不行,这样的也不行,那你们到底想要什么样的关系呀?能用手比划一下吗?

生:纷纷比出平衡的手势。

师:出示跷跷板:

师:那我们看看还有没有提示了,哎呀没有了。那现在只能请大家开动你们的小脑筋,试着想出一个他们之间可能存在的这样的关系吧。看看能否解决问题呢。有困难可以和同桌交流。(随后找一个同学上台利用希沃白板进行汇报)

师:你能说说你是怎么想出这样的关系嘛?

生:刚才我们知道 2 只鸭比一只鹅轻,3 只鸭又比一只鹅重,然后一只鸡的重量要比一只鸭轻,所以我就在跷跷板的左边放了一只鹅,在右边放了两只鸭又放了一只鸡,使得跷跷板能够平衡。

师:那现在它们之间是什么关系?

生:相等关系(板书:相等关系)

师:具体说说是什么相等了?

生:是一只鹅的质量跟 2 只鸭与一只鸡的质量相等了。

师:是的说到很准确,我们一起来看。这里的跷跷板处于什么状态呢?平衡说明了什么呢?

生:处于平衡状态,平衡说明左右两边的动物的质量是相等的。

师:也就是说左边的质量等于右边的质量。

师:现在我们找到了相等的关系,那就能顺利解决问题了吗?具体说说你是怎么解决的?

生:因为一只鹅的质量等于两只鸭和一只鸡的质量,一只鹅的质量等于 8 千克,所以我们就能知道两只鸭和一只鸡的质量也是 8 千克。然后我们就可以用 8 千克 - 2 千克 = 6 千克,6 千克 ÷2=3 千克,求出一只鸭子的质量是 3 千克。

师:说的非常的清楚,思路也非常的清晰。

设计意图:通过让学生自主创造等量关系的活动,使得学生在这一活动中自然而然地将已知量(鸡)与未知量(鸭)放在同一个相等的关系中,渗透代数思维,为后面学习方程做准备。另一方面通过让学生想等量关系、观察等量关系,并借助此关系顺利解决问题,使得让学生感受到 “等量关系” 对于解决问题的价值

师:在这里像这样一只鹅的质量跟两只鸭和一只鸡的质量相等时,我们就说它们之间存在这相等的关系,在数学上我们称之为等量关系。(板书等量关系)

师:在数学中我们我们可以用什么符号将他们进行连接呢?

生:等于号!!!(板书 =

师:好,现在我们来看看整个过程,之前题中的信息和鸭的质量没有关系所以我们无法解决问题;之后老师给大家提供了两条跟鸭质量有关系的信息,但我们还是无法解决问题;最后通过大家的思考,同学们想出了一个它们之间的等量关系,通过这个关系我们将问题顺利的解决了。那如此看来呀,解决这个问题关键就在于有了这个等量关系。

设计意图:数学符号的感知是对数学符号的直接认识,不仅包括感知、理解数学符号本身所特有的含义,也包括数学符号之间的相互关联性。通过第一个环节,学生能够意识到数学符号之间的关联性,能够体会不同情境下的 “=” 具有不同的意义和作用,对符号的感知较为完整全面

二、 自主尝试、激发符号意识

1. 在解决问题中培养符号意识的种子

师:既然等量关系这么重要,那么我们就要学会在问题中找出等量关系,以此帮助我们解决问题。看篮球运动员姚明也来到了咱们的课堂,笑笑和妹妹与姚明比起了身高。

师:仔细观察图中的信息,试着说一说他们之间谁和谁有关系?有什么样的关系?(引导学生抓住关键句子,便于寻找和确定等量关系)

生:姚明的身高和妹妹的身高之间有关系。

师:你是怎么判断他们之间有关系呢?

生:我是观察到了妹妹说的那句话。

师:哦那也就是说要去观察描述他们之间关系的关键句子是嘛?哎呀你这个方法非常不错。那他们之间有什么样的关系呢?

生:因为信息中妹妹说:姚明的身高是我的 2 倍,所以他们之间是妹妹的身高乘 2 等于姚明身高的关系。

师:那也就是说两个妹妹的身高加起来与姚明的身高是相等的,他们之间存在着等量关系。

师:还有谁和谁有关系?有什么关系?

生:笑笑的身高和妹妹的身高也有关系,笑笑身高比妹妹身高高 20 厘米,也就是说他们俩之间相差 20 厘米。如果妹妹的身高加上这 20 厘米就和笑笑的身高相等了,如果笑笑的身高减 20 厘米就和妹妹的身高相等了。

师:哦看来她们之间也存在等量关系。

【设计意图:数学教学实际上数学语言的教学,用数学符号更能体现出数学语言的简练、明确等特点,能更好地满足数学思想的表达需要。因此在进行教学时,要帮助学生掌握将数学符号语言和日常语言的转化,完成从文字语言 - 数学语言 - 数学符号语言的转化,建立符号意识。】

2. 在表达关系中深化符号意识的种子

师:既然你们已经找到了他们之间的关系,那现在你能将这种关系表示出来吗?

请先看活动要求,明白之后动手。

活动要求:

1. 用自己喜欢的方式表示。

2. 小组交流,你是如何表示出这种关系,根据哪条数学信息。

3. 汇报展示

学生展示画图的方法:

(学生在汇报过程中,要说清楚在图中是怎么表示的,又是根据什么信息得到的。)

师:刚才这几位同学都是用画图的方法来表示他们之间的关系的,那老师想采访一下这几位同学,你为什么选择用画图的方法呢?

生:因为画图的方法能够让我们更直观的看到他们身高之间的关系。

师:恩是的,我们都知道画图是解决问题的好帮手,因为它清晰直观的将其中的等量关系表示出来,使得他们的关系变得更具体化。

师:这个方法非常不错,还有其他不同的方法吗?

学生汇报等量关系式的方法:

笑笑身高 - 20 厘米 = 妹妹身高        妹妹身高 ×2 = 姚明身高    

妹妹身高 + 20 厘米 = 笑笑身高 姚明身高 ÷2 = 妹妹身高

(学生在汇报过程中,也要说清楚在式子中是怎么表示的,又是根据什么信息得到的。)

师:这次这几位同学都是用列式的方法来表示他们之间的关系的,那老师想采访一下这几位同学,你为什么选择用列式的方法呢?

生:因为这种方法比较简便。

师:哦是的,这里我们能用 “用简洁的数学符号 =” 来将他们连接起来。另外这里描述倍数的关系、相加的关系我们可以也可以用 “× 或+” 这样的运算符号来表示。

生:这种方法能表示出等量关系

师:我们来看一下是这样的嘛?

师:例如这个式子 妹妹身高 + 20 厘米 = 笑笑身高 等号左边其实就是姐姐的身高,等号右边也是姐姐的身高,所以左边等于右边。确实这种方法也能清楚的表示他们之间的等量关系。

师:那像这样能表达出两个量之间相等关系的式子,我们把它叫做 “等量关系式”

设计意图:发展符号意识最重要的是从数学符号的角度运用数学符号系统进行数学表达,符号的表达是一种理性的表现,可以使数学问题的解决呈现一定的规律,从而避免杂乱无章信息的干扰,并从中发现一些共性的东西,提升有序思维。所以从某种意义上来讲,数学符号的表达正是数学符号作为一种意识需要强化的。因此通过第二环节,教师让学生自己去试着用语言、画图、列式等方式表达其中的等量关系,以此帮助学生透过信息,理清线索,找到解决问题的关键。

三、逐步渗透,发展符号意识

师:下面我们将目光集中在这几个等量关系式上。(笑笑身高 - 20 厘米 = 妹妹身高、妹妹身高 + 20 厘米 = 姐姐身高)这两个算式还有不同写法吗?

(引导学生写出笑笑身高 - 妹妹身高 = 20 厘米、姚明的身高 ÷ 妹妹的身高 = 2)

师:这组等量关系式是由哪个数学信息得到的? 另一组呢

生:根据笑笑说:我比妹妹高 20 厘米这个信息得到的。

生:根据妹妹说:姚明的身高是我的 2 倍这个信息得到的。

师:根据同一个信息,我们竟然能用这么多不同的等量关系式来表示。

师:不过虽然等量关系式不同,但是我们能发现,第一组描述的是谁和谁之间的关系?第二组描述的是谁和谁之间的关系?

生:第一组描述的是笑笑和妹妹身高之间的等量关系,第二组描述的是姚明和妹妹身高之间的关系。

师:因此我们能够发现,这几个等量关系式呀其实描述的是都是同一个等量关系,只是它们的表示形式不同罢了。

【设计意图:华罗庚先生说过:抽象是数学的特质。也因如此,用符号代表数学就有一种天然的优越性。所以在小学数学当中,我们至少要做到教给学生这样一种观点:用符号可以进行运算和推理,并且十分简洁易懂。另外还可以让学生认识到同一个等量关系可以用不同的形式表达,它们之间也是可以互相替代的】

师:好现在我们回过头再来看一看刚才表示等量关系的这两种方法。同样表达姚明和妹妹身高之间的等量关系,我们既可以画图也可以写等量关系式,同样表示妹妹和笑笑之间的等量关系,我们也是既可以画图也可以写等量关系式。

师:由此我们是不是可以知道,同一个等量关系也可以用不同的表达方法?那具体选择哪种方法我们要根据题目,具体问题具体分析。

【设计意图:数学符号的表达有 3 种表现:数学对象和数学关系的符号化;利用数学符号进行数学表达;多种数学符号之间的相互关系及其转化。教师在这一环节,就是针对第三种表现。通过关注画图和列式等方法,让学生理解数学符号的表达可以是多样的,数学符号的表达方法也是可以根据需要进行替换的,以此使学生能够灵活的运用数学符号进行表达。】

师:刚才我们找到了笑笑与妹妹妹妹身高之间的关系、妹妹与姚明身高之间的关系,还有谁没说到?他们之间有关系吗?同学们试着找一找。

师:这个是刚才同学找到的,这个等量关系式你能看懂吗?如果看不懂其中的关系时我们可以借助谁来理解?

生:可以借助画图

师:好我们来看之前所画的图,请借助图解释你找到的等量关系式的意思。

(以上两个关系式学生能写出来就解释,写不出来就留作课下思考)

师:这个同学找到的等量关系式非常好,把两个看似没有直接关系的数量,通过妹妹的身高联系在一起。这样我们就找到了姚明和笑笑之间的等量关系。

四、综合实践,深刻体验符号

师:同学们如果你也找到了这样的等量关系,并且能看懂它说明你对等量关系的理解以及表达方式有了进一步的理解,那接下来咱们要不要乘胜追击一起来解决几个问题?

(找一名同学进行汇报,其他同学补充)

(分别展示了画图的方法和列等量关系式的方法)

师:其实等量关系并不是今天新出现的概念,生活中有很多等量关系,谁能来找一找,说一说?

设计意图:数学符号的运算是数学活动中最重要的基本形式,运算是根据一定的数学概念、法则和定理,由一些已知量通过计算得出确定结果的过程。此维度的核心是基于数学运算的符号操作,符号操作作为解决代数问题的一个重要补充需要学生必须掌握,它所得结果的一般性体现出了数学符号的本质特征。在本环节,教师通过让学生回顾以上内容,使得学生知道能够利用数学符号类比数字进行运算,并能解释运算的结果具有一般性。

五、总结提升,深入理解符号

师:现在我们一起来回顾本节课的内容,在这节课当中我们研究了一只鸡+两只鸭和一只鹅的质量,研究了妹妹身高和笑笑的身高,研究了故事书和科技书的本数,以及路程、速度、时间,长方形的面积跟长和宽等等,其实这一节课我们一直就是在寻找这几个量之间相等的关系,也就是我们说的等量关系。

设计意图:通过回顾总结本节课的内容,引导学生体会等量关系中 “等” 是表示数量间的相等关系,“量” 可以是指质量、身高、价格、长度等。另外我们知道解决本节课的问题,第一步是要将问题进行表示,也就是把实际问题中的数量关系用符号表示出来,这个过程叫做符号化。当符号化的问题转化为数学问题之后,我们才能进行符号运用和推理,最后得到结果。所以在本节课解决问题时,教师一直在鼓励学生将问题用符号进行表达。但在这一过程中更为重要的是要让学生对 “=” 这一数学符号本身的含义有深入的了解,这才能使得学生顺利的将其中的数量关系找出来并正确表达。因此教师在板书部分用红笔写了一个大大的等号,使得这一 “符号” 能够贯穿整节课堂,以帮助学生借助本节课的所有活动去理解、去感悟这一符号的意义,以此发展学生的符号意识。】

师:学到了这里老师相信大家一定有所收获,谁能来说一说。

师:知道了这些,以后我们再解决问题时,面对复杂的数量关系就能更轻松一些。,那同学们学完今天这节课你还有什么想进一步了解的问题的嘛?

师:同学们刚才思考的问题都非常有价值,希望大家把这些问题都放在我们的问题银行,课下有时间了继续研究下去。

课的最后请同学们给自己和小组成员进行评价,看看这节课你们能得到几颗星?

设计意图:通过此环节加深学生对于 “=” 的理解与认识,通过评价使得学生关注于本节课自己与组员的表现以及收获。

【教学设计点评】

1.……

2.……

【我对符号意识的理解】

一、对 “符号意识” 的解读

“符号意识” 指学习者对于符号的一种直觉感悟和敏感程度,也是一种积极的主动性反应和心理倾向。在对符号的感知、理解、操作等一系列活动过程中,具有运用符号简约思维与表达的能力。

简单来说,符号意识就是指学习者既要有符号观念又要有符号能力。前者是一种较为内隐的、潜在的心理状态,后者则更多地表现为外显的能力。学生了解数学符号的独特性和优越性,产生对数学符号的一种敏觉,能够主动自觉感悟数学符号,使用数学符号是一种数学符号观念,这种观念引导学生 " 需要做、应该做”, 至于能否正确则另当别论。而后者便是一种能力,“做正确” 的能力 —— 数学符号能力,拥有良好数学符号能力的学生能够敏锐察觉数学符号、隐含的数学信息等,还能正确地使用数学符号解决问题。

二、对 “符号意识” 的概念理解

符号是数学的语言,是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具。学习代数的主要目的之一是要使学生懂得符号的意义、会运用符号解决问题。《标准》强调发展学生的符号意识,就是要使学生能够从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,并用符号来表示;理解符号所代表的数量关系和变化规律;会进行符号间的转换;能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。

三、学生数学符号意识的主要表现

数学学习中,学生的运算能力、推理能力、空间观念、逻辑思维能力都离不符号操作。根据小学生的年龄特点和数学思维能力、小学数学知识内容及数学符号意识的内涵,小学阶段学生数学符号意识主要表现在以下几个方面:

(1) 认识常见的数学符号,理解符号的内涵和意义。

(2) 能够鉴赏数学符号的精美及魅力,进而体会数学的美。

(3) 自觉运用符号去表示数、数量关系和变化规律。

(4) 在具体情境中具有选择合理符号的预感,选择最恰当的符号。

(5) 具有识别符号信息,并能正确运用符号去解决问题的能力。

【思考在延伸】

我们都知道符号意识主要表现在:能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,并用符号来表示;理解符号所代表的数量关系和变化规律;会进行符号转换;能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。以上这些在学生经历了一定的学习活动之后他们是可以做到的,但是学生在学习之后是否体验到了数学符号语言是 “ 有助于思维” 的?我们又如何确保学生获得这方面的经验体会?

【教材图片】

【三稿反思】

一、在数学式子的表达中,使用了符号表达就意味着代数学的开始,因此可以说符号表达为方程、函数等代数学核心内容的出场做好了准备。

二、关系符号在数学中是必不可少的,这是为了把数学命题(包括数学运算)叙述的更加简单准确。除了用 “+、-、×、÷” 等符号表示概念之间的运算关系外,还用符号表示概念间的性质关系。比如这节课需要进一步认识的 “=”(表示相等关系)。需要注意的是,用这样的符号表示的是两个或多个概念之间的性质关系,因此在使用这些符号时,一定要清楚符号所代表的性质本身的含义是什么。(等号两边的量相等)

三、现代课程改革的理念是以学生的发展为本,因此除了强调基础知识和基本技能之外,还希望学生能够感悟数学的基本思想,逐渐积累数学活动、特别是思维活动的经验。

基于以上内容我又从 “要让学生学什么、学到什么程度、怎么学 、为什么学” 这四个方面重新进行了思考。本节课的核心内容是让学生了解、认识等量关系,并能用符号表示等量关系。基于此我从一稿设计到三稿始终都在围绕这一内容进行设计和修改。

绿点一设计亮点:

1. 我借助 “天平模型” 让学生将注意力集中到理解等量关系上来,使学生形象地感悟等量关系的本质含义。(1)通过让学生观察天平是平衡的状态,以此说明天平左右两边的量是相等的,让学生初步感受等量关系。(2)通过让学生在解决问题的过程中发现,当天平左边的质量是 6 千克,右边的质量也是 6 千克时就能顺利求出鸭的具体质量,以此让学生再次感受左右两边的量相等。同时因为学生经历了从 “没关系 - 有关系 - 相等关系” 的这一系列过程后,还能让学生体会到 “数量相等关系” 对于解决问题的价值,以此突破了 “为什么学”。

但试讲过后发现该部分仍有不足:

该情境图出现后,虽然学生能想出①“跷跷板左面放两只鸡,右面放一只鸭”②“跷跷板左面放一只鸡和一只鸭,右面放一只鹅”③“跷跷板左面放一只鹅,右面放两只鸭” 这三种情况,但是有部分学生因为受前两种情况的影响,认为鸭子就应该是 4 千克,不应该出现第三种情况鸭子是 3 千克。本环节的重心是放在感受左右两边相等且体会等量关系的价值上面,不应该被其他问题转移注意力,因此经过讨论之后我在后面会将这里改成下图

这样学生通过观察就会发现 2 只鸭比一只鹅重,3 只鸭又比一只鹅轻,然后一只鸡的重量要比一只鸭轻,所以就可以在跷跷板的左边放了一只鹅,在右边放了两只鸭又放了一只鸡,使得跷跷板能够平衡。这样的好处就在于学生会将全部注意力放在如何让跷跷板处于平衡状态上来,另外还能让学生在这一活动中自然而然地将已知量(鸡)与未知量(鸭)放在同一个相等的关系中,渗透代数思维,为后面学习方程做准备。

    2. 数学符号的感知是对数学符号的直接认识,包括感知、理解数学符号本身所特有的含义。本节课通过让学生观察带有 “=” 的式子,并让学生注意在数学中我们可以用 “=” 将它们进行连接,以此进一步发展学生关于将抽象的等量关系运用数学符号描述出来的学习经验,使得促进学生对数量关系的理解。

但试讲过后发现这里只是起到了一个简单说明的作用,而且播放下一张 PPT 的时候,这个等式就没有了起不到强调的作用。因此经过讨论之后我在后面会将这里的设计改为先出现跷跷板,再出现带有等号的式子,最后在黑板上用红色的粉笔将等号记录在黑板上。以此贯穿本节课的内容,并将符号意识的种子埋在此处,等到最后回顾总结本节课的时候再回到这个等号这里,使得整节课首尾呼应。

绿点二设计亮点:

1. 数学教学实际上数学语言的教学,用数学符号更能体现出数学语言的简练、明确等特点,能更好地满足数学思想的表达需要。因此在进行教学时,要帮助学生掌握将数学符号语言和日常语言的转化,完成从文字语言 - 数学语言 - 数学符号语言的转化,建立符号意识。因此在本环节活动中我首先通过鼓励学生读懂信息,肯定学生关注描述他们身高的关键句子的行为,使得学生对如何找到等量关系有了一定的经验。其次通过让学生试着将他们之间的关系表示出来,以此让学生认识到等量关系可以用语言、图形、符号等多种方式来表征。

2. 符号的表达是一种理性的表现,可以使数学问题的解决呈现一定的规律,在学生自主完成等量关系的表示过程并和组内成员分享自己的想法之后,逐渐,他们就能避免杂乱无章信息的干扰,并从中发现一些共性的东西,提升有序思维。最后通过小组汇报展示,汇报的内容帮助剩下还不会表示等量关系的学生透过信息,理清线索,找到解决问题的关键。

3. 数学符号的表达有 3 种表现:数学对象和数学关系的符号化;利用数学符号进行数学表达;多种数学符号之间的相互关系及其转化。在这一环节,针对第三种表现,我让学生关注画图和列式等方法。通过带领学生回顾同样表达姚明和妹妹身高之间的等量关系,我们既可以画图也可以写等量关系式,同样表示妹妹和笑笑之间的等量关系,我们也是既可以画图也可以写等量关系式。让学生理解数学符号的表达可以是多样的,数学符号的表达方法也是可以根据需要进行替换的,以此使学生能够灵活的运用数学符号进行表达。

绿点三设计亮点:

让学生通过借助图来解释等量关系式,使得暂时理不清姚明身高和笑笑身高之间关系的学生,依据图式之间相互翻译的方法来理解等式所表达的意思。正好和绿点二进行呼应。

练习题设计亮点:本节课的练习题具有层次性。

第一题较为基础,让学生结合情境,说一说找一找其中的等量关系,以此进一步加深对等量关系的认识。

第二题在第一题的基础上有所提升,在这一题当中我提供了和倍关系,且题目中的童话书和连环画的本数都是未知的。因此这类问题如果用算术方法做是有一定难度的,但是如果学生用找等量关系的方法做,那这个问题解决起来就会相对简单一些。所以这一练习即能够帮助学生积累分析数量关系经验,还能为后面学习方程奠定基础。

第三题通过寻找生活中的等量关系,加深对等量关系的认识。另外通过将学生找出的多种表示形式进行对比,以此让学生注意到有些式子是同一等量关系的不同表示形式。

板书设计亮点:

1. 通过回顾总结本节课的内容,引导学生体会等量关系中 “等” 是表示数量间的相等关系,“量” 可以是指质量、身高、价格、长度等,以此使得学生对等量关系这一概念有进一步的理解。

2. 两边的量从具体的鸡、鸭、鹅 —— 有文字表示的关系式 —— 有字母表示的关系式,从 “具体” 逐渐变为 “抽象”,以此帮助学生将现实问题抽象成等式,将等量关系符号化积累活动经验。

3. 最后让学生的注意力再次集中到 “=” 这个符号上来,让学生结合这一符号本身的含义更进一步的理解 “等量关系”。

《等量关系》教学设计三稿

教材来源: 小学数学义务教育教科书 / 北京师范大学出版社 2014 年版

内容来源: 四年级下册第五单元《认识方程》

主 题: 等量关系( P 64-65 内容)

课 时: 8 课时,第 3 课时

授课对象: 四年级学生

【课标描述】

核心素养:符号意识

能够理解并且运用符号表示等量关系;知道使用符号可以进行运算和推理,得到的结论具有一般性。

内容标准:式与方程(P22)

结合简单的实际情境,了解等量关系,并能用字母表示。

【教材分析】

本节课的数学本质是 “数量间相等的关系”—— 在简单的情境中描述两个事物,这两个事物在数量上相等。北师大版教材为等量关系安排了独立的课时进行学习,将内容安排在 “用字母表示数” 之后和 “认识方程” 之前,这为更好地促进学生从算术思维想代数思维的发展架设了一座桥梁。

问题串一的意图:通过观察和描述跷跷板两边的平衡现象,了解等量关系。教材直观呈现了一个跷跷板由不平衡到平衡的过程,从而得到 “这只鹅的质量相当于 2 只鸭子和 1 只鸡的质量”。 跷跷板和天平具有相同的意义,但前者更贴近儿童经验,这个学生熟悉的生活情境既能充分调动学生已有的经验又能帮助学生理解什么是等量关系。 先出现跷跷板,再出现天平的编排,也让我们找到了体现等量关系的更多的生活原型。

问题串二的意图:目前培养学生的数学符号意识成为了小学数学一项重要的任务,因此本节课教材以姚明、妹妹、笑笑的身高为情境,引导学生进一步体会等量关系,并鼓励学生从具体情境中抽象出数量关系(等量关系)并用符号进行表示(此时的问题已经转化为数学问题),以此培养学生的符号意识。从数学学习心理的角度看,不同思维形式之间的转换及其表达方式是数学学习的核心,且多种形式描述和呈现数学对象可以加强对概念的了解。因此在表示它们之间数量关系的过程中,教材推荐了一些寻找和表达等量关系的方法,并鼓励学生认识到等量关系可以用语言、图形、关系式等多种方式来表征,他们之间可以相互转化。

问题串三的意图是:从更多的角度帮助学生认识等量关系。教材采用了 “你能看懂吗” 的方式呈现了其他等量关系,帮助学生认识到同一个等量关系可以用不同的形式表达,它们之间是可以互相替代的。

基于以上教材分析,本节课的重点是结合具体情境,能用多种方法表示等量关系,知道同一个等量关系可以有不同的表示形式。

【学情分析】

基于之前的学习,学生已习惯于见信息 — 提问题 — 列式计算,目标直指具体数量(即算术思维)。对等量关系的认识尚处于简单地进行文字化处理阶段,缺乏对数量间关系的理解和抽象概括的深刻体验,而这恰恰是本课的重点和难点,也是学生本课学习的生长点。

在寻找等量关系时,个别学生对于不必一定知道 “具体数量” 这点理解不深;对于未知量和已知量是可以处于同等地位参与运算,对于 “等量关系” 的本质是指左右两边的数量相等的状态这一点不够理解,使得学生不能从整体出发、全面考虑,而导致找不到更多的等量关系。

随者学生年龄的增长,仅靠具象思维认识世界已无法满足需要,发展儿童的抽象思维能力自然成为其内在成长的需求。作为抽象思维外显表征 “符号意识”,它是沟通具象思维与抽象思维之间良好的桥梁。随着学习的深入,四年级学生已初步学会用简单的数学符号表达数学理解,并能感受到数学符号简洁、方便、高效的特点。但是对于运用符号帮助其进行运算和推理还是比较困难。

基于以上学情分析,本节课的难点是能在数学问题中寻找出数量间的等量关系。

【学习目标】

1. 借助天平模型,通过观察和描述,了解等量关系

2. 通过小组合作等活动,能结合具体情境将现实问题抽象成文字、图或式子,正确使用符号表示等量关系;知道同一等量关系可以有不同的表示形式

【学习重点】

结合具体情境,能用多种方法表示等量关系,知道同一个等量关系可以有不同的表示形式。

【学习难点】

能在数学问题中寻找出数量间的等量关系。

【学习过程】

一、 立足生活,直观感知符号

师:同学们今天淘气和笑笑遇到了一个问题,不知该如何解决,所以现在想请大家一起帮助一下他们,可以吗?

出示课题:问题是这样的已知鸡的质量是 2 千克,鹅的质量是 6 千克,请问鸭的质量是多少千克吗?好了,如果你已经看明白了问题就请开始解决吧。

生:这个问题当中的信息跟鸭没有关系,所以没有办法解决。

师:看来这个问题确实有些难,那老师给大家一些提示吧。

生:不能,我们只能知道鸭的质量小于 6 千克,但是小于 6 千克的数有好多呢。

师:那老师再给你们提供一个关系。

师:这次能解决问题嘛?

生:还是不能,只能知道鸭的质量的范围,不能知道具体质量。

师:(结合手势)这样的关系不行,这样的也不行,你们到底想要什么样的关系呀?能用手比一下吗?

生:学生用手比了一个平衡的手势。

师:(此时教师顺势出示跷跷板平衡的图片),这里老师不能再提示大家了,所以现在请同学们自己开动小脑筋,想一个它们之间这样的关系吧,看看能否解决问题呢。(有困难可以和同桌讨论)



生 1:跷跷板左面放两只鸡,右面放一只鸭。

生 2:: 跷跷板左面放一只鸡和一只鸭,右面放一只鹅(学生说我操作)

师:你能不能说一说你是怎么想的呢?

师:同学们现在我们来看这几种关系,这里的跷跷板处于什么状态呢?平衡说明了什么呢?

生:左右两边的动物的质量是相等的。

师:看来大家都一致认为找到了他们之间相等的关系,就能顺利的求出鸭具体的质量是吗?大家的想法和老师是不谋而和的,是的,其实这样的关系在解决数学问题时一直都是很重要的。像这样左边的量和右边的量达到相等的状态时,在数学上称为等量关系。在数学中我们可以用什么符号将它们进行连接呢?

生:用 = 号来进行连接。

【设计意图:1. 以往学生对等量关系丰富体验都是无意识的。从一年级的加减算式到简单问题的解决,无一不在使用等量关系,只不过不知道 1+2=3 就是等量关系而已。本节课借助 “天平模型” 让学生将注意力集中到理解等量关系上来,使学生形象地感悟等量关系的本质含义。2. 通过让学生经历从数量间的 “不等关系” 到数量间的 “相等关系” 这样的学习过程,感受到 “等量关系” 对于解决问题的价值。3. 通过让学生观察天平图或带有 “=” 的式子,进一步发展学生关于将抽象的等量关系运用数学符号和图形描述出来的学习经验,使得促进学生对数量关系的理解】

二、综合实践、深刻体验符号

师:既然等量关系这么重要,那么我们就要学会在问题中找出等量关系,以此帮助我们解决问题。看篮球运动员姚明也来到了咱们的课堂,笑笑和妹妹与姚明比起了身高。

师:仔细观察,你能找出图中的等量关系吗?能找出几个?(独立思考)

师:接下来请你试着表示出妹妹的身高与姚明的身高和笑笑的身高之间的等量关系。

活动要求:

1. 用自己喜欢的方式,在纸上表示。

2. 小组讨论,说清楚你是怎样表示出这种关系的,根据哪条数学信息。

(引导学生抓住关键句子,便于寻找和确定等量关系)

画图方法:

师:这一组的同学是用画图的方法来表示的,那我们都知道画图是解决问题的好帮手,因为它清晰直观的将其中的等量关系表示出来,使得他们的关系变得更具体化。

列式方法:

姐姐的身高 - 20 厘米 = 妹妹的身高    妹妹的身高 ×2 = 姚明的身高    

妹妹的身高 + 20 厘米 = 姐姐的身高     姚明的身高 ÷2 = 妹妹的身高

师:这一组的同学是用列式的方法来表示的,这种方法不仅表示出了等量关系,而且还能 “用简洁的数学符号 =” 来进行表示。

师:下面我们集中来看同学们的这几个算式。

师:以上几个式子还有不同的写法吗?下面这两个式子你能看懂吗?

笑笑的身高 - 妹妹的身高 = 20 厘米      姚明的身高 ÷ 妹妹的身高 = 2

师:这几个式子是由哪个数学信息得到的?

师:看来根据同一个信息我们能用这么多的式子来进行表示?

师:同学们虽然这里有这么多不同的式子,但是我们能发现第一组式子描述的都是妹妹与笑笑身高之间的关系等量关系,第二组描述的都是姚明与妹妹身高之间的等量关系。因此我们能够知道原来这两组式字其实就是同一等量关系的不同表现形式罢了。

【设计意图:华罗庚先生说过:抽象是数学的特质。也因如此,用符号代表数学就有一种天然的优越性。所以在小学数学当中,我们至少要做到教给学生这样一种观点:用符号可以进行运算和推理,并且十分简洁易懂】

师:好现在我们回过头再来看一看刚才画图和列式的方法。刚才我们同样是在表达姚明和妹妹身高之间的等量关系,我们既可以通过画图来表示,也可以列式来表示;再来想一想同样表示妹妹和笑笑之间的等量关系,我们也是既可以通过画图来来表示,也可以用列式来表示。因此同一个等量关系是不是也可以用不同的表达方法,而且他们之间是可以互相转换的。那具体选择哪种方法我们要具体问题具体分析。

【设计意图:引导学生认识到语言、图形、算式等多种方式都是在表示它们之间的 “等量关系”,且几种方法之间可以互相翻译】

师:刚才老师看到淘气写出了算式,你能读懂他的想法吗?

预设生:姚明身高 ÷2 = 笑笑身高 - 20 厘米   (不理解可以借助图)

姚明 ÷2+20 = 笑笑    姚明 =(笑笑-20)×2

师:这个同学找到的等量关系式非常好,把两个看似没有直接关系的数量,通过妹妹的身高联系在一起,这样我们就找到了姚明和笑笑之间的等量关系。

师:能写出这样的等量关系的同学,对等量关系的表达方式,以及什么是等量关系肯定都有了进一步的理解。

【设计意图:让学生了解可以将未知量和已知量置于同等地位,帮助顺利建立等量关系式,运用关系式转化问题中的思维难点。】

三、练习

师:其实等量关系并不是今天新出现的概念,我们之前我们已经有过认识了。下面老师来考考你?看看这些题你还熟悉不?

题目一:长方形的长是 3 厘米  宽是 1 厘米 ,已知长方形的周长与正方形的周长相等,求正方形的边长是多少?

预设生:(长 + 宽)×2 = 长方形的周长

预设生:边长 ×4 = 正方形的周长

预设生:(长 + 宽)×2 = 边长 ×4。

预设生:(a+b)×2=c×4

题目二:(思考题课下做)

学校要买 3 个篮球,5 个足球,每个篮球 70 元,篮球的总价比足球的总价贵 60 元,问每个足球多少元?

预设生:3× 篮球单价 = 篮球总价

预设生:5× 足球单价 + 60 元 = 篮球总价

预设生:3× 篮球单价 = 5× 足球单价 + 60 元

预设生:3×a=5×b+60

师:通过同学们的认真思考,快速的将这些问题都解决了。

四、课堂回顾,反思提升

师:现在我们一起来回顾本节课的内容,在这节课当中我们研究了鸡、鸭、鹅的质量,研究了姚明、妹妹、姐姐的身高,研究了长、正方形的周长以及足球与篮球的价格等等,其实这一节课我们一直就是在寻找这几个量之间相等的关系,也就是我们说的等量关系。

【设计意图:数学教学实际上数学语言的教学,用数学符号更能体现出数学语言的简练、明确等特点,能更好地满足数学思想的表达需要。因此在进行教学时,要帮助学生掌握将数学符号语言和日常语言的转化,完成从文字语言 - 数学语言 - 数学符号语言的转化,建立符号意识。】

师:学到了这里老师相信大家一定有所收获,谁能来说一说。

师:知道了这些,以后我们再解决问题时,面对复杂的数量关系就能更轻松一些。,那同学们学完今天这节课你还有什么想进一步了解的问题的嘛?

师:思考会产生巨大的力量,下节课我们来解决你的问题。

师:课的最后请同学们评价一下自己跟同桌在这节课的表现。

【设计意图:对本节课进行归纳和总结,通过运用评价卡引导学生结合整个活动过程评价自己的学习结果】

《等量关系》教学设计二稿

教材来源: 小学数学义务教育教科书 / 北京师范大学出版社 2014 年版

内容来源: 四年级下册第五单元《认识方程》

主 题: 等量关系( P 64-65 内容)

课 时: 共 8 课时,第 3 课时

授课对象: 四年级学生

【课标描述】

核心素养:符号意识

能够理解并且运用符号表示等量关系;知道使用符号可以进行运算和推理,得到的结论具有一般性。

内容标准:式与方程(P22)

结合简单的实际情境,了解等量关系,并能用字母表示。

【教材分析】

本节课的数学本质是 “数量间相等的关系”—— 在简单的情境中描述两个事物,这两个事物在数量上相等。北师大版教材为等量关系安排了独立的课时进行学习,将内容安排在 “用字母表示数” 之后和 “认识方程” 之前,这为更好地促进学生从算术思维想代数思维的发展架设了一座桥梁。

问题串一的意图:通过观察和描述跷跷板两边的平衡现象,了解等量关系。教材直观呈现了一个跷跷板由不平衡到平衡的过程,从而得到 “这只鹅的质量相当于 2 只鸭子和 1 只鸡的质量”。 跷跷板和天平具有相同的意义,但前者更贴近儿童经验,这个学生熟悉的生活情境既能充分调动学生已有的经验又能帮助学生理解什么是等量关系。 先出现跷跷板,再出现天平的编排,也让我们找到了体现等量关系的更多的生活原型。

问题串二的意图:目前培养学生的数学符号意识成为了小学数学一项重要的任务,因此本节课教材以姚明、妹妹、笑笑的身高为情境,引导学生进一步体会等量关系,并鼓励学生从具体情境中抽象出数量关系(等量关系)并用符号进行表示(此时的问题已经转化为数学问题),以此培养学生的符号意识。从数学学习心理的角度看,不同思维形式之间的转换及其表达方式是数学学习的核心,且多种形式描述和呈现数学对象可以加强对概念的了解。因此在表示它们之间数量关系的过程中,教材推荐了一些寻找和表达等量关系的方法,并鼓励学生认识到等量关系可以用语言、图形、关系式等多种方式来表征,他们之间可以相互转化。

问题串三的意图是:从更多的角度帮助学生认识等量关系。教材采用了 “你能看懂吗” 的方式呈现了其他等量关系,帮助学生认识到同一个等量关系可以用不同的形式表达,它们之间是可以互相替代的。

基于以上教材分析,本节课的重点是结合具体情境,能用多种方法表示等量关系,知道同一个等量关系可以有不同的表示形式。

【学情分析】

基于之前的学习,学生已习惯于见信息 — 提问题 — 列式计算,目标直指具体数量(即算术思维)。对等量关系的认识尚处于简单地进行文字化处理阶段,缺乏对数量间关系的理解和抽象概括的深刻体验,而这恰恰是本课的重点和难点,也是学生本课学习的生长点。

在寻找等量关系时,个别学生对于不必一定知道 “具体数量” 这点理解不深;对于未知量和已知量是可以处于同等地位参与运算,对于 “等量关系” 的本质是指左右两边的数量相等的状态这一点不够理解,使得学生不能从整体出发、全面考虑,而导致找不到更多的等量关系。

随者学生年龄的增长,仅靠具象思维认识世界已无法满足需要,发展儿童的抽象思维能力自然成为其内在成长的需求。作为抽象思维外显表征 “符号意识”,它是沟通具象思维与抽象思维之间良好的桥梁。随着学习的深入,四年级学生已初步学会用简单的数学符号表达数学理解,并能感受到数学符号简洁、方便、高效的特点。但是对于运用符号帮助其进行运算和推理还是比较困难。

基于以上学情分析,本节课的难点是能在数学问题中寻找出数量间的等量关系。

【学习目标】

1. 借助天平模型,通过观察和描述,了解等量关系

2. 通过小组合作等活动,能结合具体情境将现实问题抽象成文字、图或式子,正确使用符号表示等量关系;知道同一等量关系可以有不同的表示形式

【学习重点】

结合具体情境,能用多种方法表示等量关系,知道同一个等量关系可以有不同的表示形式。

【学习难点】

能在数学问题中寻找出数量间的等量关系。

【学习过程】

一、 立足生活,直观感知符号

师:同学们大家都玩过跷跷板吗?今天我们就来研究跷跷板上的数学问题。

师:小动物们在玩跷跷板,已知鸡的质量是 2 千克,鹅的质量是 6 千克,请问你能知道鸭的质量是多少千克吗?

生:因为已知的鸡和鹅的质量与要求的鸭的质量没有直接关系,因此无法求出鸭的质量。

师:那你现在能从图中得到什么信息呢?(引出得到不相等关系,仅仅能求出鸭质量的一个大致范围)

生:鹅>鸭 鸭>鸡     6>鸭>2

师:现在根据跷跷板不平衡的状态,我们能够求出鸭质量的范围,但是无法求出鸭的质量具体是多少?面对这一情况我们应该怎么做?(加条件)

师:现在请同学们试着想想办法并和同桌进行讨论。

生:鹅 = 2 鸭   2 鸡=鸭   鸡 + 鸭 = 鹅(学生说我操作)要说为什么?

师:现在请同学们看看这几种方法,说一说它们之间有什么相同点?特点是什么?

生:使跷跷板保持平衡状态。左右两边的动物的质量是相等的。换句话说他们是相等关系。

师:真好,看来大家的想法是一样的,都认为如果提供的是相等关系,就能求出鸭具体的质量。看来这样的关系在解决数学问题时是很重要的,像跷跷板这样左右两边的数量关系达到相等的状态,数学上称为等量关系。

师:现在你能尝试用自己喜欢的方式表示他们之间的等量关系吗?并和同学们分享一下你的方法。

展示画图

画图使我们经常会用到的一种方法,因为它便于我们理解。说一说图中表示的意思。

展示等式

说一说这个式子的意思,其他同学有没有什么疑问或补充呢?

生:咱们之前学的 1+1=2  3×5=15  “=” 后面都应该记录的是得数呀,这里怎么是一长串的式子呢?

师:同学们请大家仔细想一想 “=” 的含义?然后再式子回答这个问题。

生:等号表示的就是一种相等的关系,只要把相等的数量关系用等号连起来就可以,左边的鹅和右边的鸡和鸭质量是相等的,这样表示没问题。

师:是呀同学们,等号代表了左右两边数量关系之间的相等关系,那么只要是相等的,不论是得数也好还是式子也好我们都可以用 = 连接。它跟我们之前用跷跷板表示的方法是类似的。

【设计意图:1. 以往学生对等量关系丰富体验都是无意识的。从一年级的加减算式到简单问题的解决,无一不在使用等量关系,只不过不知道 1+2=3 就是等量关系而已。本节课借助 “天平模型” 让学生将注意力集中到理解等量关系上来,使学生形象地感悟等量关系的本质含义。2. 通过让学生经历从数量间的 “不等关系” 到数量间的 “相等关系” 这样的学习过程,感受到 “等量关系” 对于解决问题的价值。3. 通过让学生观察天平图或带有 “=” 的式子,进一步发展学生关于将抽象的等量关系运用数学符号和图形描述出来的学习经验,使得促进学生对数量关系的理解】

二、综合实践、深刻体验符号

师:既然等量关系这么重要,那么我们就要学会在问题中找出等量关系,以此帮助我们解决问题。看篮球运动员姚明也来到了咱们的课堂,笑笑和妹妹与姚明比起了身高。

师:仔细观察,你能找出图中的等量关系吗?能找出几个?(同桌互相交流)

师:现在请你试着用数学的方法(文字、画图、算式等)把你找到的等量关系表示出来。在学生交流的时候,教师需要关注以下信息:

师:你是如何找到等量关系的?(引导学生抓住关键句子,便于寻找和确定等量关系)

    1. 画图的方法很直观

师:同学们仔细看到这两种画图方法,他们通过不同的角度描述出这种数量关系,但是都清晰的描述出他们的关系,使得抽象的数量关系变得具体化。

师:还有不同的方法我们一起来看一看。

师:用算式表示的同学们,请问在表示他们身高的关系时,最重要的 “符号” 是哪一个?)

师:真要为你的想法点个赞,用列式的方法不仅较为简洁,而且还能明确地表示出他们数量之间相等的关系。你可真是了不起呀。

2. 用算式表示很简洁

师:还有与大家都不同的等量关系式吗?你是怎么找到的?关系式中等号两边都等于谁的身高?

姐姐 - 20 = 妹妹        妹妹 ×2 = 姚明    A×20=226

妹妹 + 20 = 姐姐       姚明 ÷2 = 妹妹

【设计意图:华罗庚先生说过:抽象是数学的特质。也因如此,用符号代表数学就有一种天然的优越性。所以在小学数学当中,我们至少要做到教给学生这样一种观点:用符号可以进行运算和推理,并且十分简洁易懂】

生:姚明身高 ÷2 = 笑笑身高 - 20 厘米   

师:这个同学找到的等量关系式非常好,不是只注重算出妹妹的身高,也不是只注重算出姐姐的身高,而是更关注找到其中的 “等量关系”。

师:在这个关系式中姐姐的身高我们知不知道?以前不知道可能有些关系,有些同学就无法写出算式顺利解决问题了。但是现在不知道有没有关系?学了用字母表示数后,我们可以用 a 来表示,这样就可以顺利的写出等量关系式,我们就继续解决这个问题了。226÷2=a-20

【设计意图:让学生了解可以将未知量和已知量可以置于同等地位,帮助顺利建立等量关系式,运用关系式转化问题中的思维难点。】

师:同学们学到这里老师相信你对如何找等量关系,以及等量关系的表示方式有了进一步的理解。

师:请同学们将这些等量关系进行对比,说一说它们之间有什么联系?(图和算式都出示)

师:哪些是同一等量关系的不同表示形式?

师:跟随他的想法我们来看一看同样表达姚明和妹妹身高之间的等量关系,我们却可以画图,写出等式。同样表示妹妹和笑笑之间的等量关系,我们也可以画图,列出等式。那也就是说同一个等量关系也会有着不同的表示方式,他们之间是可以互相进行替代的。

【设计意图:引导学生认识到语言、图形、算式等多种方式都是在表示它们之间的 “等量关系”,且几种方法之间可以互相翻译】

师:接下来我们来回顾几道题,小组合作学习(你的回答让我们进一步知道了画图也好,列式也好都可以用来表示等量关系)

1. 请同学们先独立思考,试着找出其中的等量关系并解决问题

2. 小组进行交流讨论

3. 找出一个组在全班进行汇报

题目一:

学校要买 3 个篮球,5 个足球,每个篮球 70 元,篮球的总价比足球的总价贵 60 元,问每个足球多少元?

预设生:3× 篮球单价 = 篮球总价

预设生:5× 足球单价 + 60 元 = 篮球总价

预设生:3× 篮球单价 = 5× 足球单价 + 60 元

预设生:3×a=5×b+60

题目二:

长方形的长是 3  宽是 1 ,已知长方形的周长与正方形的周长相等,求正方形的边长是多少?

预设生:(长 + 宽)×2 = 长方形的周长

预设生:边长 ×4 = 正方形的周长

预设生:(长 + 宽)×2 = 边长 ×4。

预设生:(a+b)×2=c×4

题目三:

师总结:同学们可真善于观察,将关注点集中到 “等量关系” 上来,就能很快的将问题中看起来不相关的两件事建立其联系。另外借助画图或者带 “=” 的式子就能顺利的帮助我们将问题中复杂的、较为抽象的数量关系变得更具体、更容易理解,使得我们解决起问题来更轻松。

【设计意图:数学教学实际上数学语言的教学,用数学符号更能体现出数学语言的简练、明确等特点,能更好地满足数学思想的表达需要。因此在进行教学时,要帮助学生掌握将数学符号语言和日常语言的转化,完成从文字语言 - 数学语言 - 数学符号语言的转化,建立符号意识。】

三、 走进生活,将抽象的符号与具体的生活实际相联系

师:生活中有很多的等量关系,现在请同学们先独立回忆之前遇到过哪些等量关系?

预设生:速度、时间、路程等常见数量关系      S=vt

预设生:几何图形周长、面积公式              C=(a+b)×2     S=a×b

预设生:加法或乘法运算律等              (a+b)+c=a+(b+c)  (a+b)×c=ac+bc

预设生:男生认识 + 女生人数 = 班级总人数        a+b=c

师:生活中有等量关系的还有很多,其实呀仔细想来咱们这节课遇到了这么多可以用等量关系表达的情境。现在谁能试着用自己的话说一说,什么是等量关系?

师:就 “等量关系” 这一概念,同学们现在还有什么疑问或者想补充的吗?

【设计意图: 引导学生体会等量关系中 “等” 是表示数量间的相等关系,“量” 可以是指质量、身高、长度等

四、课堂回顾,反思提升

师:学完今天的内容你有什么收获吗?

师:之前我们在解决这些问题的时候认为 “=” 仅仅是连接算式与答案的符号,学习完今天的内容之后我们对于 “=” 有了新的认识,它还能表示左右两边数量相等的关系。知道了这一点,以后我们再解决问题时,面对复杂的数量关系就能更轻松一些。

其实等量关系并不是今天新出现的概念,我们之前我们已经有过认识了,那同学们学完今天这节课你还有什么想进一步了解的问题的嘛?

师:思考会产生巨大的力量,下节课我们来解决你的问题。

师:课的最后请同学们评价一下自己跟同桌在这节课的表现

【设计意图:对本节课进行归纳和总结,通过运用评价卡引导学生结合整个活动过程评价自己的学习结果】

《等量关系》教学设计一稿

【教材来源】: 小学数学义务教育教科书 / 北京师范大学出版社 2014 年版

【内容来源】: 四年级下册第五单元《认识方程》

【主 题】: 等量关系

【课 时】: 共 8 课时,第 3 课时

【授课对象】: 四年级学生

【课标描述】

核心素养:符号意识

能够理解并且运用符号表示等量关系;知道使用符号可以进行运算和推理,得到的结论具有一般性。

内容标准:式与方程(P22)

结合简单的实际情境,了解等量关系,并能用字母表示。

【教材分析】

本节课的数学本质是 “数量间相等的关系”—— 在简单的情境中描述两个事物,这两个事物在数量上相等。

北师大版教材为等量关系安排了独立的课时进行学习,将内容安排在 “用字母表示数” 之后和 “认识方程” 之前,这为更好地促进学生从算术思维想代数思维的发展架设了一座桥梁。

问题串一的意图:通过观察和描述跷跷板两边的平衡现象,了解等量关系。教材直观呈现了一个跷跷板由不平衡到平衡的过程,从而得到 “这只鹅的质量相当于 2 只鸭子和 1 只鸡的质量”。 跷跷板和天平具有相同的意义,但前者更贴近儿童经验,这个学生熟悉的生活情境既能充分调动学生已有的经验又能帮助学生理解什么是等量关系。 先出现跷跷板,再出现天平的编排,也让我们找到了体现等量关系的更多的生活原型。

问题串二的意图:目前培养学生的数学符号意识成为了小学数学一项重要的任务,因此本节课教材以姚明、妹妹、笑笑的身高为情境,引导学生进一步体会等量关系,并鼓励学生从具体情境中抽象出数量关系(等量关系)并用符号进行表示(此时的问题已经转化为数学问题),以此培养学生的符号意识。从数学学习心理的角度看,不同思维形式之间的转换及其表达方式是数学学习的核心,且多种形式描述和呈现数学对象可以加强对概念的了解。因此在表示它们之间数量关系的过程中,教材推荐了一些寻找和表达等量关系的方法,并鼓励学生认识到等量关系可以用语言、图形、关系式等多种方式来表征,他们之间可以相互转化。

问题串三的意图是:从更多的角度帮助学生认识等量关系。教材采用了 “你能看懂吗” 的方式呈现了其他等量关系,帮助学生认识到同一个等量关系可以用不同的形式表达,它们之间是可以互相替代的。

基于以上教材分析,本节课的重点是能在数学问题中寻找出等量关系,并会用不同方式进行表达。

【学情分析】

基于之前的学习,学生已习惯于见信息 — 提问题 — 列式计算,目标直指具体数量(即算术思维)。对等量关系的认识尚处于简单地进行文字化处理阶段,缺乏对数量间关系的理解和抽象概括的深刻体验,而这恰恰是本课的重点和难点,也是学生本课学习的生长点。

在寻找等量关系时,个别学生对于不必一定知道 “具体数量” 这点理解不深;对于未知量和已知量是可以处于同等地位参与运算,对于 “等量关系” 的本质是指左右两边的数量相等的状态这一点不够理解,使得学生不能从整体出发、全面考虑,而导致找不到更多的等量关系。

随者学生年龄的增长,仅靠具象思维认识世界已无法满足需要,发展儿童的抽象思维能力自然成为其内在成长的需求。作为抽象思维外显表征 “符号意识”,它是沟通具象思维与抽象思维之间良好的桥梁。随着学习的深入,四年级学生已初步学会用简单的数学符号表达数学理解,并能感受到数学符号简洁、方便、高效的特点。但是对于运用符号帮助其进行运算和推理还是比较困难。

基于以上学情分析,本节课的难点是能从不同的角度观察、了解到等量关系就是指数量上存在着一种相等的关系。

【学习目标】

1. 借助天平模型,通过观察和描述,了解等量关系

2. 通过小组合作等活动,能结合具体情境将现实问题抽象成文字、图或式子,正确使用符号表示等量关系;知道同一等量关系可以有不同的表示形式

【学习重点】

能在数学问题中寻找出等量关系,并会用不同方式进行表达。

【学习难点】

能从不同的角度观察、了解到等量关系就是指数量上存在着一种相等的关系。

【学习过程】

一、立足生活,直观感知符号

师:同学们大家都玩过跷跷板吗?今天我们就来研究跷跷板上的数学问题。

师:小动物们在玩跷跷板,已知鸡的质量是 2 千克,鹅的质量是 8 千克,请问你能知道鸭的质量是多少千克吗?

预设生:因为已知的鸡和鹅的质量与要求的鸭的质量没有直接关系,因此无法求出鸭的质量。

师:从图上得不到一点鸭的信息吗?(引出得到不相等关系,仅仅能求出鸭质量的一个大致范围)

师:现在请同学们利用跷跷板,试着提供一个能帮助解决鸭的质量的 “关系”

师:真好,大家的想法是一样的,都认为如果提供的是相等关系,就能求出鸭具体的质量。看来这样的关系在解决数学问题时是很重要的,像这样左右两部分的量都相等的关系,数学上称为等量关系。

师:你能尝试用自己喜欢的方式表示这组相等的关系吗?并和同学们分享一下你的方法。(初步引导学生从情境中抽象出等量关系,并用 “=” 或 “天平模型” 表示)

【设计意图:1. 以往学生对等量关系丰富体验都是无意识的。从一年级的加减算式到简单问题的解决,无一不在使用等量关系,只不过不知道 1+2=3 就是等量关系而已。本节课借助 “天平模型” 让学生将注意力集中到理解等量关系上来,使学生形象地感悟等量关系的本质含义。2. 通过让学生经历从数量间的 “不等关系” 到数量间的 “相等关系” 这样的学习过程,感受到 “等量关系” 对于解决问题的价值。3. 让学生利用画天平图或写带有 “=” 的式子来表示等量关系,将抽象的等量关系运用数学符号和图形描述出来,使得促进学生对数量关系的理解】

师:现在谁能试着用自己的话说一说,什么是等量关系?

:就 “等量关系” 这一概念,同学们现在还有什么疑问或者想补充的吗?

(引导学生体会等量关系中 “等” 是表示数量间的相等关系,“量” 可以是指年龄、价格、长度、认识等)      

师:请同学们说说下列情境中的等量关系

师:它们的等量关系能用刚才方法进行表示吗?

【设计意图:借助以上方式,帮助学生进一步理解等量关系】

二、综合实践、深刻体验符号

师:既然等量关系这么重要,那么我们就要学会在问题中找出等量关系,以此帮助我们解决问题。

师:仔细观察下图,你能找出题中的等量关系吗?能找出几个?(同桌互相交流)

师:现在请试着用数学的语言(文字、画图、算式等)把你找到的等量关系表示出来。

在学生交流的时候,教师需要关注以下信息:

师:你是依据什么找到等量关系的?(引导学生抓住关键句子,便于寻找和确定等量关系)

师小结:只要找出两个相等的数量就能形成一个等量关系

师:为什么选择用这样的方法表示等量关系?

(如果选择用算式,请问在用算式表示等量关系时,最重要的符号是哪一个?)

1. 引导学生体会画图很直观 (可以帮助学生更容易的理解其中的数量关系,使抽象的数量关系具体化。

2. 用算式表示很简洁(让学生知道同一等量关系可以有不同的表达形式)

师:大家都非常厉害,想出了这么多的方法,那现在请同学们仔细观察,说一说这些方法之间有什么共同点?

(引导学生认识到语言、图形、算式等多种方式都是在表示它们之间的 “等量关系”,且几种方法之间可以互相翻译)

【设计意图:华罗庚先生说过:抽象是数学的特质。也因如此,用符号代表数学就有一种天然的优越性。所以在小学数学当中,我们至少要做到教给学生这样一种观点:用符号可以进行运算和推理,并且十分简洁易懂】

师:还有与大家都不同的等量关系式吗?关系式中等号两边都等于谁的身高?

预设生:姚明身高 ÷2 = 笑笑身高 - 20 厘米

师:这个同学找到的等量关系式非常好,不只注重算出妹妹的身高,也不是只注重算出姐姐的身高,而是更注重找到其中的 “等量关系”。之前我们在解决问题的时候只能根据已知量去求出未知量(结果),而今天通过学习等量关系后,我们也可以将问题中的未知量和已知量都放在这个关系式中,以此帮助推理得出要求的结果。

【设计意图:让学生了解可以将未知量和已知量置于同等地位,帮助顺利建立等量关系式,运用关系式转化问题中的思维难点。】

师:其实像刚才 “妹妹 ×2 = 姚明 、笑笑的身高 - 20 = 妹妹” 这样的等量关系式其实也是将未知量和已知量都放在一起,帮助我们得到求妹妹的身高就用姚明 ÷2 求笑笑的身高就用妹妹 + 20

师:现在请同学们仔细观察这些关系式,说说你有什么发现?

(引导学生认识到同一个等量关系可以用不同的形式表达,他们之间是可以互相替代的)

师:等量关系其实一点也不陌生,在以往的学习中我们经常再用等量关系解决问题。接下来我们来回顾几道题,小组合作学习

1. 请同学们先独立思考,试着找出其中的等量关系

2. 小组进行交流讨论

3. 找出一个组在全班进行汇报

题目一:

预设生:3× 篮球单价 = 篮球总价

预设生:5× 足球单价 + 60 元 = 足球总价

预设生:3× 篮球单价 = 5× 足球单价 + 60 元

预设生:3×a=5×b+60

题目二:

预设生:(长 + 宽)×2 = 长方形的周长

预设生:边长 ×4 = 正方形的周长

预设生:(长 + 宽)×2 = 边长 ×4。

预设生:(a+b)×2=c×4

题目三:

预设生:姐姐的身高 + 8 = 妹妹的身高 + 70

预设生:姐姐的身高 - 70 = 妹妹的身高 - 8

师总结:同学们可真善于观察,将关注点集中到 “等量关系” 上来,就能很快的将问题中看起来不相关的两件事建立其联系。另外借助画图或者带 “=” 的式子就能顺利的帮助我们将问题中复杂的、较为抽象的数量关系变得更具体、更容易理解,使得我们解决起问题来更轻松。

【设计意图:数学教学实际上数学语言的教学,用数学符号更能体现出数学语言的简练、明确等特点,能更好地满足数学思想的表达需要。因此在进行教学时,要帮助学生掌握将数学符号语言和日常语言的转化,完成从文字语言 - 数学语言 - 数学符号语言的转化,建立符号意识。】

三、走进生活,将抽象的符号与具体的生活实际相联系

师:生活中有很多的等量关系,现在请同学们先独立回忆之前遇到过哪些等量关系并在纸上表示出来,接着小组四个人互相交流合作,最后进行小组展示。

预设生:速度、时间、路程等常见数量关系      S=vt

预设生:几何图形周长、面积公式              C=(a+b)×2     S=a×b

预设生:加法或乘法运算律等              (a+b)+c=a+(b+c)  (a+b)×c=ac+bc

预设生:男生认识 + 女生人数 = 班级总人数        a+b=c

师:之前我们在解决这些问题的时候认为 “=” 仅仅是连接算式与答案的符号,学习完今天的内容之后我们对于 “=” 有了新的认识,它还能表示左右两边数量相等的关系。知道了这一点,以后我们再解决问题时,面对复杂的数量关系就能更轻松一些。

四、课堂回顾,反思提升

师:回想一下刚上课看到信息时你所想到的,和现在看到信息时你所想到的对比一下,这节课你有什么新的收获?或者还有什么疑问想提出来?跟大家说一说

师:课的最后请同学们评价一下自己跟同桌在这节课的表现。

【设计意图:对本节课进行归纳和总结,通过运用评价卡引导学生结合整个活动过程评价自己的学习结果】

选课思考

选课前,我对 “符号意识” 的相关文献、资料进行了研读和学习,基于我们的理解,选择了四年级下册第五单元《等量关系》一课,主要有下面几个方面的思考。

根据第二学段数学符号意识的教材分布,义务教育第二学段数学符号意识更集中体现在数与代数和图形与几何两大板;本节课内容安排在 “用字母表示数” 之后和 “认识方程” 之前,为学生从算术思维想代数思维的发展架设了一座桥梁,同时其内容是学生后面学习代数相关知识的基础。找等量关系列方程,其实就是把现实问题抽象成数学问题,把生活世界引向符号世界,这对学生符号意识的培养具有重要意义。同时也是学生数学符号的学习从 “水平数学化” 逐渐向 “垂直数学化” 的转变。

等量关系是方程的核心,实质就是代数思维。由于其本身是高度抽象的因而不易理解,所以本节课借助天平模型帮助揭示等量关系的概念,另外因为符号意识是抽象思维的外显表征,是具象与抽象之间的桥梁,因此让学生经历从具体情境中抽象出数量关系,并尝试用数学符号进行表达,促使学生将 “等量关系” 这一概念变得更为具体,更直观,让学生对其理解更加深入,同时也让学生在具体问题中感受到符号语言的优势。

综上所述,无论是从学习内容的前后联系,还是本节课学习内容的编排,都反映了《等量关系》一课对学生符号意识的发展的重要作用,因此我们选择了本节内容。

活动主题解读

一、对 “符号意识” 的解读

“符号意识” 指学习者对于符号的一种直觉感悟和敏感程度,也是一种积极的主动性反应和心理倾向。在对符号的感知、理解、操作等一系列活动过程中,具有运用符号简约思维与表达的能力。简单来说,符号意识就是指学习者既要有符号观念又要有符号能力。前者是一种较为内隐的、潜在的心理状态,后者则更多地表现为外显的能力。学生了解数学符号的独特性和优越性,产生对数学符号的一种敏觉,能够主动自觉感悟数学符号,使用数学符号是一种数学符号观念,这种观念引导学生 " 需要做、应该做”。而后者便是一种能力,“做正确” 的能力 —— 数学符号能力,拥有良好数学符号能力的学生能够敏锐察觉数学符号、隐含的数学信息等,还能正确地使用数学符号解决问题。

二、对 “符号意识” 的概念理解

符号是数学的语言,是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具。学习代数的主要目的之一是要使学生懂得符号的意义、会运用符号解决问题。《标准》强调发展学生的符号意识,就是要使学生能够从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,并用符号来表示;理解符号所代表的数量关系和变化规律;会进行符号间的转换;能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。

三、学生数学符号意识的主要表现

数学学习中,学生的运算能力、推理能力、空间观念、逻辑思维能力都离不符号操作。根据小学生的年龄特点和数学思维能力、小学数学知识内容及数学符号意识的内涵,小学阶段学生数学符号意识主要表现在以下几个方面:1. 认识常见的数学符号,理解符号的内涵和意义。2. 能够鉴赏数学符号的美及魅力,进而体会数学的美。3. 自觉运用符号去表示数、数量关系和变化规律。4. 在具体情境中具有选择合理符号的预感,选择最恰当的符号。5. 具有识别符号信息,并能正确运用符号去解决问题的能力。

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